Em um determinado processo de fabricação 10 % das peças são defeituosas. As peças são acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma. As caixas só serão aceitas se apresentarem no máximo uma peça defeituosa.
a) Qual é o modelo teórico mais adequado para este caso? Por quê?
b) Esquematize a expressão para cálculo da probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas em uma caixa.
c) De acordo com a expressão da letra b, calcule a probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas em uma caixa? (R.: 0,0081)
d) Esquematize a expressão para cálculo da probabilidade de uma caixa ser aceita.
d) De acordo com a expressão da letra d, calcule a probabilidade de uma caixa ser aceita? (R.: 0,9185)

Passo 1

O enunciado fala de um processo onde cada peça tem probabilidade de 10% de ser defeituosa e caixas de tamanho fixo 5. Vamos tratar cada peça como um experimento de Bernoulli independente e modelar o número de defeituosas por caixa.
O modelo teórico mais adequado é a distribuição binomial. Isso porque temos um número fixo de ensaios (n=5), cada ensaio tem dois resultados (defeituosa ou não), a probabilidade de defeito é constante (p=0,1) e os ensaios são independentes.

Passo 2

Para calcular a probabilidade de exatamente 3 peças defeituosas em uma caixa usamos a fórmula da massa de probabilidade da binomial:
P(X=3)=binom53(0,1)^3(0,9)^5-3
Substituindo os valores temos
P(X=3)=10times(0,1)^3times(0,9)^2=10times0,001times0,81=0,0081

Passo 3

Para a caixa ser aceita precisamos que haja no máximo uma peça defeituosa, ou seja k=0 ou k=1. Então a probabilidade é soma de dois termos binomiais:
P(X<=1)=binom50(0,1)^0(0,9)^5+binom51(0,1)^1(0,9)^4
Calculando:
P(X<=1)=0,9^5+5times0,1times0,9^4=0,59049+0,32805=0,91854
Arredondando fica 0,9185.

Resposta

a) Distribuição binomial, pois há n fixo de ensaios independentes com probabilidade constante de defeito.
b) P(X=3)=binom53(0,1)^3(0,9)^2
c) 0,0081
d) P(X<=1)=binom50(0,1)^0(0,9)^5+binom51(0,1)^1(0,9)^4
e) 0,9185

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