Um revendedor de automóveis novos constatou que 80 % dos carros vendidos são devolvidos ao departamento mecânico para corrigir defeitos de fabricação, nos primeiros 25 dias após a venda. De 11 carros vendidos há interesse em calcular as probabilidades de que o número de automóveis que retornam para reparo seja 0,1,2, etc.
a) Qual é o modelo teórico mais adequado para este caso? Por quê?
b) Esquematize a expressão para o cálculo da probabilidade de que todos os carros voltem dentro de 25 dias para reparo.
c) De acordo com a expressão da letra a, calcule a probabilidade de que todos os carros voltem dentro de 25 dias para reparo. (R.: 0,085899)
d) Esquematize a expressão para o cálculo da probabilidade de que nenhum carro volte dentro de 25 dias para reparo.
e) De acordo com a expressão da letra d, calcule a probabilidade de que nenhum carro volte dentro de 25 dias para reparo. (R.: 0,0000002 )
f) Qual é o número esperado de automóveis que retornarão para reparos? (R.: 8,8)
Adaptado de STEVENSON, W.J. Estatística Aplicada à Administração, São Paulo: Harper do Brasil, 1981, página 108.

Passo 1

O exercício envolve 11 carros vendidos, cada um com probabilidade de 80% de retornar nos primeiros 25 dias por defeito. Queremos calcular probabilidades do número de retornos X = 0,1,2,… e também o valor esperado. O conteúdo é distribuição de probabilidade discreta (modelo binomial) e precisaremos usar a fórmula de probabilidade binomial e a fórmula do valor esperado.

Passo 2

O modelo teórico adequado é a distribuição binomial, pois temos um número fixo de ensaios independentes (cada carro), cada um com apenas dois resultados (retorna ou não) e probabilidade constante de “sucesso” (retorno). Podemos então definir ,X~\sim\mathrm{Binomial}(n=11,,p=0.8).

Passo 3

Para calcular a probabilidade de que todos os 11 carros retornem, usamos a fórmula da binomial para X=11. A expressão é:
P(X=11)=binom1111,(0.8)^11,(0.2)^0
Agora basta calcular numericamente:
P(X=11)=(1)times0.8^11times1approx0.085899

Passo 4

Para a probabilidade de que nenhum carro retorne, usamos a mesma fórmula para X=0. A expressão é:
P(X=0)=binom110,(0.8)^0,(0.2)^11
Calculando numericamente:
P(X=0)=1times1times0.2^11approx2.048times10^-8

Passo 5

O valor esperado de uma binomial é E[X]=n,p. Aqui:
E[X]=11times0.8=8.8

Resposta

a) Modelo: distribuição binomial com parâmetros n=11 e p=0.8.
b) P(X=11)=binom1111(0.8)^11(0.2)^0.
c) P(X=11)approx0.085899.
d) P(X=0)=binom110(0.8)^0(0.2)^11.
e) P(X=0)approx2.048times10^-8.
f) Valor esperado: E[X]=11times0.8=8.8.

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