Em um estudo de reconhecimento de marca, 95% dos consumidores reconheceram o refrigerante “Guaranazinho”. Mas, dentre 15 consumidores selecionados ao acaso apenas 10 reconheceram a marca.
a) Qual é o modelo teórico mais apropriado para este caso? Por quê?
b) Esquematize a expressão para cálculo da probabilidade de obter no máximo 10 consumidores que reconheceram “Guaranazinho” dentre os 15 selecionados.
c) De acordo com a expressão da letra b, calcule a probabilidade de obter no máximo 10 consumidores que reconheceram “Guaranazinho” dentre os 15 selecionados. (R.: 0,0006146)
d) Você acha que o resultado possa ser consequência de mero acaso? (R.: não, probabilidade muito baixa)
e) Suponha que será realizada uma nova pesquisa com 1200 pessoas. Determine a média e o desvio padrão do número de consumidores que reconhecem “Guaranazinho”. (R.: 1140; 7,55)
Adaptado de TRIOLA, M. Introdução à Estatística, Rio de Janeiro: LTC, 1999, páginas 104 e 107.

Passo 1

Vamos recapitular: de acordo com o estudo, a probabilidade de reconhecimento é p = 0,95. Selecionamos n = 15 consumidores e observamos x = 10 reconhecimentos. O assunto aqui é distribuição Binomial, que modela o número de sucessos em um conjunto de ensaios independentes com probabilidade fixa.

Passo 2

a) O modelo mais adequado é a distribuição Binomial porque temos um número fixo de ensaios ( n=15), cada ensaio tem dois resultados (sucesso ou falha), a probabilidade de sucesso é constante ( p=0,95) e os ensaios são independentes.

Passo 3

b) A expressão da probabilidade de obter no máximo 10 reconhecimentos é
P(X <= 10) = sumk=0^10 binom15k ,(0.95)^k,(0.05)^15-k

Passo 4

c) Calculando essa soma, seja por calculadora ou software, chega-se a
P(X <= 10) approx 0.0006146

Passo 5

d) Como essa probabilidade é extremamente baixa, não faz sentido atribuir o resultado observado a mero acaso.

Passo 6

e) Para uma nova pesquisa com n = 1200, a média e o desvio padrão de uma Binomial são
mu = n,p = 1200 times 0.95 = 1140
sigma = raizn,p,(1-p) = raiz1200 times 0.95 times 0.05 approx 7.55

Resposta

a) Distribuição Binomial com n=15 e p=0,95;
b) P(X <= 10) = sumk=0^10 binom15k (0.95)^k (0.05)^15-k;
c) P(X <= 10) approx 0.0006146;
d) Não, probabilidade muito baixa;
e) mu = 1140; sigma approx 7,55.

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