Um imóvel é vendido nas seguintes condições de pagamento:
10.000,00$ de entrada;
Sendo de 1,8% a.m. a taxa corrente de juros de mercado, até que preço vale a pena pagar o imóvel a vista?
Sendo de 1,8% a.m. a taxa corrente de juros de mercado, até que preço vale a pena pagar o imóvel a vista?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara. Informações fornecidas:
- Entrada de
. - Taxa corrente de juros de mercado igual a
ao mês (vou denotar a taxa mensal por e escrever ).
Pergunta feita pelo enunciado: - “Até que preço vale a pena pagar o imóvel à vista?” — isto é, qual é o valor máximo à vista que torna a compra tão boa quanto (ou melhor que) a opção de pagar nas condições oferecidas (entrando com
e pagando o resto conforme o plano que o vendedor oferecer).
Passo 2
Princípio econômico que vamos usar (explicadinho): pagar à vista vale a pena se o preço à vista for menor ou igual ao valor presente (PV) das parcelas do pagamento financiado, descontadas à taxa de mercado. Por quê? Porque um real hoje vale mais do que um real amanhã: se eu não pago à vista, eu poderia investir o dinheiro que teria pago hoje à taxa de mercado
. Portanto, para comparar alternativas devemos trazer tudo para valores “hoje” usando desconto com
.
Fórmula básica de desconto de uma única parcela futura:
Aqui
é o valor pago no mês
,
é a taxa mensal, e
é o número de meses até o pagamento. Esta fórmula vem da relação
(juros compostos) resolvida para PV.
Passo 3
Como montar a comparação no caso geral (sem inventar nada do plano do vendedor): suponha que além da entrada
(já dada,
) haja um conjunto de pagamentos mensais
, onde
é pago ao final do mês
. O valor presente total do plano financiado (avaliado hoje) é
Explicando cada símbolo:
-
= entrada paga hoje (= ); -
= k-ésima parcela (em reais), paga no final do mês ; -
= taxa mensal de mercado ( ); -
= número total de parcelas.
Critério decisório: vale a pena pagar à vista se e somente se o preço à vista
for menor ou igual a
. Ou seja, o máximo que você deveria pagar à vista é
Passo 4
Dois casos especiais muito comuns (para você reconhecer e aplicar na prova):
Caso A — uma única parcela final (saldo único): se o restante do preço for uma só parcela
paga em
meses (ou seja, depois da entrada você paga
daqui a
meses), então
Neste caso o preço à vista máximo que compensa é esse número acima.
Caso B —
prestações mensais iguais (anuidade): se o restante for pago em
prestações iguais de valor
(cada uma paga ao final do mês), então o valor presente das prestações é o valor presente de uma anuidade ordinária:
Logo
Explicando a fórmula da anuidade (passo a passo, sem pular):
- A soma das parcelas descontadas é
. - Isso é uma soma geométrica com primeiro termo
e razão . - Soma de uma geométrica finita com
termos: . - Aplicando
e obtém-se a expressão acima, que é equivalente à que usei.
Passo 5
Exemplo numérico (só para você ver como calcular na prática): suponha que o vendedor peça
depois da entrada em 12 meses (Caso A com
e
). Com
,
Calcule passo a passo sem calculadora aproximando
ou usando tabelas — mas em prova com calculadora você faria direto. Se
for, por exemplo,
(valor ilustrativo), então pagar à vista só compensaria se o preço à vista oferecido fosse menor ou igual a esse PV.
Passo 6
Como aplicar isso na sua prova ou na vida prática:
- Identifique o plano do vendedor: quais são
e quantos meses . - Use
para descontar cada com . - Some a entrada (
) e as parcelas descontadas para obter . - Compare
com : se compensa pagar à vista; caso contrário, é melhor financiar (ou negociar).
Resposta
(Casos especiais: parcela única
em
meses:
. Parcelas iguais
por
meses:
.)