Um imóvel é vendido nas seguintes condições de pagamento:
\ 10.000,00$ de entrada;
Sendo de 1,8% a.m. a taxa corrente de juros de mercado, até que preço vale a pena pagar o imóvel a vista?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara. Informações fornecidas:
  • Entrada de \$\,10{,}000{,}00.
  • Taxa corrente de juros de mercado igual a 1{,}8\% ao mês (vou denotar a taxa mensal por i e escrever i=0{,}018).
    Pergunta feita pelo enunciado:
  • “Até que preço vale a pena pagar o imóvel à vista?” — isto é, qual é o valor máximo à vista que torna a compra tão boa quanto (ou melhor que) a opção de pagar nas condições oferecidas (entrando com \$\,10{,}000 e pagando o resto conforme o plano que o vendedor oferecer).

Passo 2

Princípio econômico que vamos usar (explicadinho): pagar à vista vale a pena se o preço à vista for menor ou igual ao valor presente (PV) das parcelas do pagamento financiado, descontadas à taxa de mercado. Por quê? Porque um real hoje vale mais do que um real amanhã: se eu não pago à vista, eu poderia investir o dinheiro que teria pago hoje à taxa de mercado i. Portanto, para comparar alternativas devemos trazer tudo para valores “hoje” usando desconto com i.
Fórmula básica de desconto de uma única parcela futura:
\text{PV de uma parcela }F\text{ paga em }n\text{ meses}=\frac{F}{(1+i)^{n}}.
Aqui F é o valor pago no mês n, i é a taxa mensal, e n é o número de meses até o pagamento. Esta fórmula vem da relação F = \text{PV}\cdot(1+i)^{n} (juros compostos) resolvida para PV.

Passo 3

Como montar a comparação no caso geral (sem inventar nada do plano do vendedor): suponha que além da entrada E (já dada, E=\$\,10{,}000) haja um conjunto de pagamentos mensais P_{1},P_{2},\dots,P_{N}, onde P_{k} é pago ao final do mês k. O valor presente total do plano financiado (avaliado hoje) é
\text{PV}_{\text{fin}} = E + \sum_{k=1}^{N}\frac{P_{k}}{(1+i)^{k}}.
Explicando cada símbolo:
  • E = entrada paga hoje (= \$\,10{,}000);
  • P_{k} = k-ésima parcela (em reais), paga no final do mês k;
  • i = taxa mensal de mercado ( i=0{,}018);
  • N = número total de parcelas.
Critério decisório: vale a pena pagar à vista se e somente se o preço à vista P_{\text{vista}} for menor ou igual a \text{PV}_{\text{fin}}. Ou seja, o máximo que você deveria pagar à vista é
P_{\text{vista, máximo}}=\text{PV}_{\text{fin}}=10{,}000+\sum_{k=1}^{N}\frac{P_{k}}{(1+0{,}018)^{k}}.á

Passo 4

Dois casos especiais muito comuns (para você reconhecer e aplicar na prova):
Caso A — uma única parcela final (saldo único): se o restante do preço for uma só parcela S paga em N meses (ou seja, depois da entrada você paga S daqui a N meses), então
\text{PV}_{\text{fin}}=10{,}000+\frac{S}{(1+i)^{N}}.
Neste caso o preço à vista máximo que compensa é esse número acima.
Caso B — N prestações mensais iguais (anuidade): se o restante for pago em N prestações iguais de valor A (cada uma paga ao final do mês), então o valor presente das prestações é o valor presente de uma anuidade ordinária:
\text{PV}_{\text{parcelas}}=A\cdot\frac{1-(1+i)^{-N}}{i}.
Logo
\text{PV}_{\text{fin}}=10{,}000 + A\cdot\frac{1-(1+i)^{-N}}{i}.
Explicando a fórmula da anuidade (passo a passo, sem pular):
  • A soma das parcelas descontadas é \sum_{k=1}^{N} A(1+i)^{-k}.
  • Isso é uma soma geométrica com primeiro termo A(1+i)^{-1} e razão (1+i)^{-1}.
  • Soma de uma geométrica finita com N termos: a_1\frac{1-r^{N}}{1-r}.
  • Aplicando a_1=A(1+i)^{-1} e r=(1+i)^{-1} obtém-se a expressão acima, que é equivalente à que usei.

Passo 5

Exemplo numérico (só para você ver como calcular na prática): suponha que o vendedor peça \$\,50{,}000 depois da entrada em 12 meses (Caso A com S=50{,}000 e N=12). Com i=0{,}018,
\text{PV}_{\text{fin}}=10{,}000+\frac{50{,}000}{(1+0{,}018)^{12}}.
Calcule passo a passo sem calculadora aproximando (1+0{,}018)^{12} ou usando tabelas — mas em prova com calculadora você faria direto. Se \text{PV}_{\text{fin}} for, por exemplo, \$\,58{,}500 (valor ilustrativo), então pagar à vista só compensaria se o preço à vista oferecido fosse menor ou igual a esse PV.

Passo 6

Como aplicar isso na sua prova ou na vida prática:
  • Identifique o plano do vendedor: quais são P_{k} e quantos meses N.
  • Use i=0{,}018 para descontar cada P_{k} com \frac{P_{k}}{(1+0{,}018)^{k}}.
  • Some a entrada ( 10{,}000) e as parcelas descontadas para obter \text{PV}_{\text{fin}}.
  • Compare P_{\text{vista}} com \text{PV}_{\text{fin}}: se P_{\text{vista}}\le \text{PV}_{\text{fin}} compensa pagar à vista; caso contrário, é melhor financiar (ou negociar).

Resposta

P_{\text{vista, máximo}}=10{,}000+\sum_{k=1}^{N}\frac{P_{k}}{(1+0{,}018)^{k}}.á
(Casos especiais: parcela única S em N meses: P_{\text{vista, máximo}}=10{,}000+\dfrac{S}{(1+0{,}018)^{N}}á. Parcelas iguais A por N meses: P_{\text{vista, máximo}}=10{,}000 + A\cdot\dfrac{1-(1+0{,}018)^{-N}}{0{,}018}á.)

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