1. Em um determinado sistema de coordenadas, onde a unidade de comprimento é o centímetro, uma chave inglesa prende um parafuso no ponto P(10,-10,20) e sua extremidade está no ponto Q(20,0,40).
    (a) Qual é o módulo do torque produzido por uma força de magnitude 100N aplicada na extremidade da chave inglesa, fazendo um ângulo de 60^circ com seu cabo?
    (b) Qual é o ganho percentual no módulo do torque ao aplicar uma força de mesma magnitude com um ângulo de 90^circ com o cabo da chave?

Passo 1

Resumindo o problema: temos uma chave inglesa que prende um parafuso no ponto P(10,–10,20) e sua extremidade está em Q(20,0,40), tudo em centímetros. O conteúdo aqui é torque (momento de uma força), que calculamos com produto vetorial, e precisamos do módulo do torque produzido por uma força de 100 N que faz ângulos de 60° e 90° com o cabo da chave.

Passo 2

Calculando o vetor posição r do ponto de aplicação da força em relação ao ponto de rotação e convertendo para unidades do SI:
Em cm temos
r = Q - P = (20 - 10,;0 - (-10),;40 - 20) = (10,;10,;20) cm
Convertendo para metros:
r = (0.10,;0.10,;0.20) m
O módulo de r é
|r| = raiz0.10^2 + 0.10^2 + 0.20^2 = raiz0.06 approx 0.2449 m

Passo 3

Calculando o módulo do torque para theta = 60^circ usando a fórmula
|tau| = |r|;|F|;sintheta:
Substituindo |r|approx0.2449 m, |F|=100 N e sin60^circ=tfracraiz32:
|tau60| approx 0.2449 times 100 times raiz32 approx 21.2 N·m

Passo 4

Calculando o módulo do torque para theta = 90^circ e o ganho percentual:
Para theta=90^circ, sin90^circ=1, logo
|tau90| = 0.2449 times 100 times 1 approx 24.5 N·m
O ganho percentual é
|tau90| - |tau60||tau60| times 100% approx 24.5 - 21.221.2 times 100% approx 15.5%

Resposta

(a) 21.2 N·m
(b) 15.5%

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