Exercício 5 Encontre uma base e a dimensão do subespaço
das matrizes antisimétricas
.
Passo 1
O enunciado pede para achar uma base e a dimensão do subespaço
das matrizes antissimétricas
. Vamos usar teoria de subespaços vetoriais e a definição de matriz antissimétrica (
).
Passo 2
Uma matriz genérica
é
Pela condição
, temos
e
, logo
.
Também da antissimetria vem . Se chamarmos
, então
e não há outras restrições.
Também da antissimetria vem
Passo 3
Concluímos que toda matriz em
tem a forma
com
. Isso significa que
é gerado por um único vetor (matriz).
Como só precisamos do parâmetro , o espaço
é de dimensão 1 e admitimos como base a matriz que ocorre quando
.
Como só precisamos do parâmetro
Resposta
Uma base de
é
e
.