Exercício 5 Encontre uma base e a dimensão do subespaço S das matrizes antisimétricas 2 times 2.

Passo 1

O enunciado pede para achar uma base e a dimensão do subespaço S das matrizes antissimétricas 2times2. Vamos usar teoria de subespaços vetoriais e a definição de matriz antissimétrica ( M^T=-M).

Passo 2

Uma matriz genérica 2times2 é
M=m11 & m12 m21 & m22
Pela condição M^T=-M, temos m11= -m11 e m22=-m22, logo m11=m22=0.
Também da antissimetria vem m21 = -m12. Se chamarmos a = m12, então m21=-a e não há outras restrições.

Passo 3

Concluímos que toda matriz em S tem a forma
0 & a -a & 0
com ainR. Isso significa que S é gerado por um único vetor (matriz).
Como só precisamos do parâmetro a, o espaço S é de dimensão 1 e admitimos como base a matriz que ocorre quando a=1.

Resposta

Uma base de S é 0 & 1 -1 & 0 e dim S=1.

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