Determine para que três vetores abaixo sejam coplanares e, baseado nos resultados, interprete quais as possíveis orientações ângulares entre estes vetores.
Passo 1
A questão pede para achar os valores de que tornam os vetores coplanares e, a partir disso, interpretar as orientações entre eles. O conteúdo envolve o produto misto de vetores (ou determinante de matriz cujas colunas são os vetores) e o conceito de colinearidade e coplanaridade.
Passo 2
Para vetores serem coplanares, o produto misto deve ser zero. Podemos montar a matriz cujas colunas são os vetores e igualar seu determinante a zero:
Passo 3
Calculando o determinante por expansão na primeira linha:
Dividindo por -2 e resolvendo a equação quadrática:
m^2 + m - 6 = 0 Longrightarrow m = -1 pm raiz1 + 242 = -1 pm 52
Portanto m = 2 ou m = -3.
Passo 5
Para interpretar as orientações:
Se m = 2, nenhum par de vetores fica colinear, mas todos estão no mesmo plano (coplanares com três direções distintas).
Se m = -3, verifica-se que vec v = 2vec u, logo vec u e vec v são paralelos, e vec w está no mesmo plano que eles.
Passo 6
Com isso identificamos os dois casos de coplanaridade e a relação angular entre os vetores em cada caso.
Resposta
Os valores de m que garantem coplanaridade são m = 2 e m = –3. Para m = 2, os três vetores são coplanares sem serem colineares (formam um plano com três direções distintas). Para m = –3, os vetores u e v tornam-se paralelos (colineares) e w permanece no mesmo plano formado por eles.