1. Determine m para que três vetores abaixo sejam coplanares e, baseado nos resultados, interprete quais as possíveis orientações ângulares entre estes vetores.
u & =i-m j+2 k v & =2 i+6 j+4 k w & =-i+3 j-m k

Passo 1

A questão pede para achar os valores de m que tornam os vetores coplanares e, a partir disso, interpretar as orientações entre eles. O conteúdo envolve o produto misto de vetores (ou determinante de matriz cujas colunas são os vetores) e o conceito de colinearidade e coplanaridade.

Passo 2

Para vetores vec u,vec v,vec w serem coplanares, o produto misto deve ser zero. Podemos montar a matriz cujas colunas são os vetores e igualar seu determinante a zero:
det 1 & 2 & -1 -m & 6 & 3 2 & 4 & -m = 0

Passo 3

Calculando o determinante por expansão na primeira linha:
1cdot(6cdot(-m)-3cdot4) - 2cdot((-m)cdot(-m)-3cdot2) + (-1)cdot((-m)cdot4 - 6cdot2) = 0
Isso dá
-6m - 12 - 2(m^2 - 6) + (4m + 12) = 0
Ou seja
-2m^2 -2m +12 = 0

Passo 4

Dividindo por -2 e resolvendo a equação quadrática:
m^2 + m - 6 = 0 Longrightarrow m = -1 pm raiz1 + 242 = -1 pm 52
Portanto m = 2 ou m = -3.

Passo 5

Para interpretar as orientações:
  • Se m = 2, nenhum par de vetores fica colinear, mas todos estão no mesmo plano (coplanares com três direções distintas).
  • Se m = -3, verifica-se que vec v = 2vec u, logo vec u e vec v são paralelos, e vec w está no mesmo plano que eles.

Passo 6

Com isso identificamos os dois casos de coplanaridade e a relação angular entre os vetores em cada caso.

Resposta

Os valores de m que garantem coplanaridade são m = 2 e m = –3. Para m = 2, os três vetores são coplanares sem serem colineares (formam um plano com três direções distintas). Para m = –3, os vetores u e v tornam-se paralelos (colineares) e w permanece no mesmo plano formado por eles.

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