Exercício 6 Mostre que o subespaço vetorial a, b tem dimensão 2. Faça o mesmo para c supondo que algum dos coeficientes n-1 ou a1, ldots, an é diferente de zero. Generalize, mostrando que o subespaço : tem dimensão se algum dos coeficientes é diferente de zero.

Passo 1

O exercício pede para a gente mostrar que o conjunto de soluções de uma equação linear homogênea define um subespaço de dimensão 2 em \mathbb{R}^3 e, em seguida, generalizar para qualquer equação linear em \mathbb{R}^3 e depois em \mathbb{R}^n. Vamos usar parametrização de soluções, encontrar vetores independentes e concluir a dimensão.

Passo 2

Para W = (x,y,z)inR^3 : 2x+3y+z=0, resolvemos a equação para uma variável em função de outras duas, escolhendo x e y como parâmetros livres.
Resolvendo:
$ 2x+3y+z=0
z=-2x-3y(x,y,z)=(x,y,-2x-3y)=x(1,0,-2)+y(0,1,-3).$$
Os vetores (x,y,z)=(x,y,-2x-3y)=x(1,0,-2)+y(0,1,-3) e (1,0,-2) são linearmente independentes e geram W, logo formam uma base de W. Concluímos que (0,1,-3).

Passo 3

Para W_1 = (x,y,z)inR^3 : ax+by+cz=0 com algum de a,b,cneq0, sem perda de generalidade suponha aneq0.
Resolvendo para x:
$ ax+by+cz=0
x=- b a y- c a z(x,y,z)=y\bigl(-\tfrac b a,1,0\bigr)+z\bigl(-\tfrac c a,0,1\bigr).$$
Os dois vetores são independentes e geram W_1, então (x,y,z)=yl(-tfrac b a,1,0r)+zl(-tfrac c a,0,1r).

Passo 4

Para a generalização U = (x1,dots,xn)inR^n : a1x1+cdots+anxn=0 com algum aineq0, digamos a1neq0.
Resolvendo para x1:
$ a1x1+a2x2+cdots+anxn=0
x1=-a2a1x2-cdots-ana1xnâéçãv_j=\bigl(-\tfrac{a_{j+1}}{a_1},0,\dots,1,\dots,0\bigr),\quad j=1,\dots,n-1.$$
Esses x2,dots,xn vetores são independentes e geram U, logo n-1.

Resposta

dim W=2, dim W1=2 sob a hipótese indicada, e dim U=n-1 quando algum coeficiente aineq0.

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