Exercício 6 Mostre que o subespaço vetorial
tem dimensão 2. Faça o mesmo para
supondo que algum dos coeficientes
ou
é diferente de zero. Generalize, mostrando que o subespaço
:
tem dimensão
se algum dos coeficientes
é diferente de zero.
Passo 1
O exercício pede para a gente mostrar que o conjunto de soluções de uma equação linear homogênea define um subespaço de dimensão 2 em \mathbb{R}^3 e, em seguida, generalizar para qualquer equação linear em \mathbb{R}^3 e depois em \mathbb{R}^n. Vamos usar parametrização de soluções, encontrar vetores independentes e concluir a dimensão.
Passo 2
Para W =
, resolvemos a equação para uma variável em função de outras duas, escolhendo x e y como parâmetros livres.
Resolvendo:
$
Os vetores
e
são linearmente independentes e geram W, logo formam uma base de W. Concluímos que
.
Passo 3
Para W_1 =
com algum de
, sem perda de generalidade suponha
.
Resolvendo para x:
$
Os dois vetores são independentes e geram W_1, então
.
Passo 4
Para a generalização U =
com algum
, digamos
.
Resolvendo para
:
$
Esses
vetores são independentes e geram U, logo
.