Encontre vetores geradores para cada um dos subespaços descritos abaixo. Justifique as suas respostas.
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Passo 1

Nesse exercício queremos achar vetores que geram o subespaço
F={(x,y,z)∈ℝ³ | x+y+3z=0}. O conteúdo envolvido é subespaços vetoriais e forma paramétrica de solução de uma equação linear.

Passo 2

Começando pela equação
x + y + 3z = 0
podemos isolar x:

Passo 3

x = -y - 3z
Agora introduzimos parâmetros para y e z: seja t = y e s = z. Assim qualquer vetor em F fica

Passo 4

(x,y,z) = (-t-3s, ,t, ,s) = t(-1,1,0) + s(-3,0,1)

Passo 5

Como mostramos que todo (x,y,z)∈F é combinação linear dos vetores (-1,1,0) e (-3,0,1) e vice-versa, esses dois vetores geram exatamente F.

Resposta

Um possível conjunto gerador é {(-1,1,0),,(-3,0,1)}.

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