Em um determinado sistema, tem-se gás Hélio a
e 4 bar contido no interior de um cilindro de vidro com 200 mm de diâmetro interno e espessura de parede igual a 8 mm . Para esta situação: Dados:
, solubilidade a
(He-vidro)
bar). Dicas: Parta da Equação da Continuidade para difusão de um soluto A com as suposições de regime permanente, fluxo unidimensional na direção radial através das paredes do cilindro, perdas nas extremidades são desprezíveis, as propriedades
e p são constantes, concentração total molar uniforme e concentração de Hélio fora do cilindro desprezível.
a) Prove que ao longo do trajeto, a distribuição de concentração do soluto em função do raio
entre as paredes de um cilindro pode ser dada pela expressão a seguir:
a) Prove que ao longo do trajeto, a distribuição de concentração do soluto em função do raio
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um cilindro de vidro com gás hélio (He) a uma temperatura de 25°C e pressão de 4 bar. O diâmetro interno do cilindro é de 200 mm e a espessura da parede é de 8 mm. A gente precisa provar que, ao longo do trajeto radial através da parede do cilindro, a concentração do soluto (neste caso, o hélio) em função do raio $ r $ é dada por:
Para resolver isso, vamos utilizar a Equação da Continuidade para difusão em regime permanente, assumindo fluxo unidimensional na direção radial e outras simplificações mencionadas na dica do enunciado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Equação da Continuidade para difusão em regime permanente. Em condições de fluxo unidimensional radial em um cilindro, a equação fica:
Como estamos em regime permanente (ou seja, não há variação temporal), a derivada em relação ao tempo é zero. Isso implica que $ r J_A $ é constante ao longo do raio $ r $.
Passo 3
Vamos isolar $ J_A $, que é o fluxo de massa do soluto A (hélio, no caso). A equação simplificada fica:
Isso nos indica que $ J_A $ varia inversamente com $ r $:
Passo 4
Agora, usamos a Lei de Fick para difusão radial, que relaciona o fluxo de massa $ J_A $ com o gradiente de concentração:
Onde:
- $ D_{A} $ é o coeficiente de difusão do soluto A no meio,
- $ C_A $ é a concentração do soluto A.
Passo 5
Igualando as duas expressões para $ J_A $:
Vamos chamar a constante de $ k $, então:
Passo 6
Para encontrar $ C_A® $, vamos integrar a equação acima em relação a $ r $:
Simplificando:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para $ C_A® $:
Podemos reescrever isso de forma mais conveniente:
Onde $ A = -\frac{k}{D_{A}} $ e $ B = -\frac{C}{D_{A}} $.
Passo 8
Vamos aplicar as condições de contorno para determinar as constantes $ A $ e $ B $. As condições são:
- No raio $ r = r_1 $, a concentração é $ C_{A1} $.
- No raio $ r = r_2 $, a concentração é $ C_{A2} $.
Aplicando $ r = r_1 $:
Aplicando $ r = r_2 $:
Passo 9
Subtraindo as duas equações para eliminar $ B $:
Isso simplifica para:
Passo 10
Agora, substituímos $ A $ de volta na equação para $ C_A® $:
Para encontrar $ B $, usamos uma das condições de contorno, por exemplo, $ r = r_2 $:
Isolando $ B $:
Passo 11
Substituindo $ B $ na equação de $ C_A® $:
Factorizando:
Usando a propriedade dos logaritmos $ \ln a - \ln b = \ln(a/b) $:
Resposta
Portanto, provamos que a distribuição de concentração do soluto em função do raio $ r $ é dada por: