Em um determinado sistema, tem-se gás Hélio a 25^circ C e 4 bar contido no interior de um cilindro de vidro com 200 mm de diâmetro interno e espessura de parede igual a 8 mm . Para esta situação: Dados: D He-vidro (25^circ C)=4 times 10^-14 m^2 / s, solubilidade a 25^circ C (He-vidro) =4,5 times 10^-4 kmol /(m^3 bar). Dicas: Parta da Equação da Continuidade para difusão de um soluto A com as suposições de regime permanente, fluxo unidimensional na direção radial através das paredes do cilindro, perdas nas extremidades são desprezíveis, as propriedades T e p são constantes, concentração total molar uniforme e concentração de Hélio fora do cilindro desprezível.
a) Prove que ao longo do trajeto, a distribuição de concentração do soluto em função do raio r entre as paredes de um cilindro pode ser dada pela expressão a seguir:
CA(r)-CA 2=(CA 1-CA 2)ln (r1 / r2) times ln (r / r2)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um cilindro de vidro com gás hélio (He) a uma temperatura de 25°C e pressão de 4 bar. O diâmetro interno do cilindro é de 200 mm e a espessura da parede é de 8 mm. A gente precisa provar que, ao longo do trajeto radial através da parede do cilindro, a concentração do soluto (neste caso, o hélio) em função do raio $ r $ é dada por:
r
Para resolver isso, vamos utilizar a Equação da Continuidade para difusão em regime permanente, assumindo fluxo unidimensional na direção radial e outras simplificações mencionadas na dica do enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Equação da Continuidade para difusão em regime permanente. Em condições de fluxo unidimensional radial em um cilindro, a equação fica:
1r ddr( r JA ) = 0
Como estamos em regime permanente (ou seja, não há variação temporal), a derivada em relação ao tempo é zero. Isso implica que $ r J_A $ é constante ao longo do raio $ r $.

Passo 3

Vamos isolar $ J_A $, que é o fluxo de massa do soluto A (hélio, no caso). A equação simplificada fica:
JA
Isso nos indica que $ J_A $ varia inversamente com $ r $:
r JA = constante

Passo 4

Agora, usamos a Lei de Fick para difusão radial, que relaciona o fluxo de massa $ J_A $ com o gradiente de concentração:
JA
Onde:
  • $ D_{A} $ é o coeficiente de difusão do soluto A no meio,
  • $ C_A $ é a concentração do soluto A.

Passo 5

Igualando as duas expressões para $ J_A $:
JA
Vamos chamar a constante de $ k $, então:
- DA dCAdr = constanter

Passo 6

Para encontrar $ C_A® $, vamos integrar a equação acima em relação a $ r $:
CA(r)
Simplificando:
r
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para $ C_A® $:
CA(r)
Podemos reescrever isso de forma mais conveniente:
CA(r) = -kDA ln r - CDA
Onde $ A = -\frac{k}{D_{A}} $ e $ B = -\frac{C}{D_{A}} $.

Passo 8

Vamos aplicar as condições de contorno para determinar as constantes $ A $ e $ B $. As condições são:
  1. No raio $ r = r_1 $, a concentração é $ C_{A1} $.
  2. No raio $ r = r_2 $, a concentração é $ C_{A2} $.
Aplicando $ r = r_1 $:
A
Aplicando $ r = r_2 $:
B

Passo 9

Subtraindo as duas equações para eliminar $ B $:
B
Isso simplifica para:
CA1 - CA2 = A (ln r1 - ln r2)

Passo 10

Agora, substituímos $ A $ de volta na equação para $ C_A® $:
A
Para encontrar $ B $, usamos uma das condições de contorno, por exemplo, $ r = r_2 $:
CA(r)
Isolando $ B $:
CA(r) = CA1 - CA2ln(r1 / r2) ln r + B

Passo 11

Substituindo $ B $ na equação de $ C_A® $:
B
Factorizando:
CA(r)
Usando a propriedade dos logaritmos $ \ln a - \ln b = \ln(a/b) $:
CA(r) = CA1 - CA2ln(r1 / r2) ln r + ( CA2 - CA1 - CA2ln(r1 / r2) ln r2 )

Resposta

Portanto, provamos que a distribuição de concentração do soluto em função do raio $ r $ é dada por:
r

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