Para um determinado telefone a probabilidade de se conseguir linha é de 0,75 em dias normais e 0,25 em dias de chuva. A probabilidade de chover em um dia é 0,1 . Além disso tendo-se conseguido linha, a probabilidade de que um número esteja ocupado é 11/21.
a) Qual é a probabilidade de que um telefone tenha sua ligação completada? (R.: 0,333)
b) Dado que um telefonema foi completado, qual é a probabilidade de estar chovendo? (R.: 0,0357)

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes probabilidades: probabilidade de chover em um dia é 0,1 (logo dia normal é 0,9); dada chuva, a chance de obter linha é 0,25; em dia normal é 0,75; e, uma vez conseguida linha, a probabilidade de número ocupado é 11/21 (logo não ocupado é 10/21). Vamos usar probabilidade total e Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro calculamos a probabilidade de conseguir linha usando a fórmula da probabilidade total:
P(linha)=P(normal),P(linhamidnormal) + P(chuva),P(linhamidchuva)
Substituindo:
P(linha)=0,9times0,75 + 0,1times0,25 = 0,675 + 0,025 = 0,7

Passo 3

Em seguida, a probabilidade de ligação completada é o produto de conseguir linha e não encontrar número ocupado. Como a chance de não ocupado dado linha é 1 – 11/21 = 10/21, temos:
P(comp<=tada)=P(linha)times1021=0,7times1021=721=13approx0,333

Passo 4

Para achar a probabilidade de estar chovendo dado que a ligação foi completada usamos Bayes. Primeiro o numerador:
P(chuvacapcomp<=tada)=P(chuva),P(linhamidchuva),P(não ocupadomidlinha) ã
=0,1times0,25times1021=0,025times1021=0,2521approx0,0119048

Passo 5

Finalmente,
P(chuvamidcomp<=tada)=P(chuvacapcomp<=tada)P(comp<=tada)=0,01190481/3approx0,0357

Resposta

a) 0,333; b) 0,0357

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