Um menino joga uma pedra para o alto e,depoisde
, ela volta às suas mãos. Desprezando-se a resistência do ar e adotando
, pergunta-se:
a. Com que velocidade ele lançou a pedra?
b. Qual a altura máxima por ela atingida?
c. Em que instantes ela está a
de altura?
d. Quais as velocidades da pedra a
de altura?
e. Com que velocidade ela atinge o solo?
a. Com que velocidade ele lançou a pedra?
b. Qual a altura máxima por ela atingida?
c. Em que instantes ela está a
d. Quais as velocidades da pedra a
e. Com que velocidade ela atinge o solo?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
-
Informações dadas:
- Um menino lança uma pedra verticalmente para cima e, depois de
, a pedra volta às suas mãos. - Despreza-se a resistência do ar.
- A aceleração da gravidade é
. - Pressupõe-se que a pedra é lançada e recuperada no mesmo nível (a altura das mãos é a mesma na saída e na chegada).
- Um menino lança uma pedra verticalmente para cima e, depois de
-
Perguntas:
a. Com que velocidade ele lançou a pedra?
b. Qual a altura máxima por ela atingida?
c. Em que instantes ela está ade altura?
d. Quais as velocidades da pedra ade altura?
e. Com que velocidade ela atinge o solo?
Passo 2
Escolhendo convenções e as fórmulas que vamos usar (aqui eu te explico a teoria passo a passo, sem pular etapas):
-
Convenção de sinais: vou tomar para cima como sentido positivo. Assim, a aceleração da pedra é
, ou seja . -
Grandezas e fórmulas básicas do movimento uniformemente acelerado (aplicáveis ao movimento vertical sem resistência do ar):
- Velocidade instantânea:
, onde -
é a velocidade no instante , -
é a velocidade inicial (no instante ), -
é a aceleração (aqui ).
-
- Posição (deslocamento vertical) relativa ao ponto de lançamento:
, onde -
é a altura (positiva para cima) medida a partir do ponto de lançamento.
-
- Relação energia/velocidade (útil às vezes):
, onde é o deslocamento vertical.
- Velocidade instantânea:
-
Observação sobre tempo de subida e descida: num lançamento vertical para o mesmo nível, o tempo total de voo
é o dobro do tempo de subida até a altura máxima, porque o movimento é simétrico (subida e descida simétricas se é constante). Assim, o tempo de subida é .
Agora que já estabelecemos as fórmulas e o significado de cada variável, vamos aplicar ao problema.
Passo 3
Calcular a velocidade inicial
(resposta da letra a):
-
Do enunciado sabemos que o tempo total de voo é
. Portanto o tempo de subida (até a altura máxima) é -
Na subida, no instante de altura máxima a velocidade é zero. Usando
com , e , temos Isolando, -
Substituindo os valores (
e ):
Passo 4
Calcular a altura máxima atingida (resposta da letra b):
Vou mostrar duas maneiras equivalentes — escolhe a que tu achar mais simples na prova.
Método 1 (usando
):
- A altura máxima é
no instante . Usando com , - Substituindo
e : Vamos calcular passo a passo: -
. -
. -
. - Então
-
Método 2 (fórmula direta):
.
- Substituindo
e : que coincide com o resultado anterior.
Passo 5
Encontrar os instantes em que a pedra está a
de altura (resposta da letra c):
-
Queremos resolver para
a equação Substituindoe , fica -
Colocando em forma padrão (todos os termos do mesmo lado):Dividindo toda a equação por
(para simplificar): -
Essa é uma equação quadrática simples que fatoriza:Logo as soluções são
Interpretation: primeiro a pedra sobe e passa por
em
com velocidade para cima; depois, na descida, volta a passar por
em
com velocidade para baixo.
Passo 6
Calcular as velocidades da pedra quando ela está a
(resposta da letra d):
-
Usamos
com e . -
Para
: O sinal positivo (segundo nossa convenção) indica que a pedra está se movendo para cima nesse instante. -
Para
: O sinal negativo indica movimento para baixo; a rapidez épara baixo.
Passo 7
Calcular com que velocidade ela atinge o solo (resposta da letra e):
-
Aqui precisamos interpretar a frase do enunciado. O enunciado diz que “depois de
, ela volta às suas mãos”. Isso significa que a pedra retorna ao mesmo nível do lançamento (as mãos do menino) no instante . Como o enunciado pede “Com que velocidade ela atinge o solo?”, adotando que o nível de lançamento/captura é o mesmo nível de referência (isto é, que o solo referido é o nível de onde foi lançada — se o professor usou “solo” para indicar esse nível), então queremos a velocidade quando a pedra retorna ao nível inicial no instante . -
Pelo princípio de simetria do movimento vertical sem resistência do ar, a velocidade ao voltar ao mesmo nível tem magnitude igual à velocidade inicial e sentido oposto. Assim a velocidade é
(negativa, pois agora para baixo). Calculando com a fórmula em : -
Interpretando: a pedra atinge o nível do lançamento com velocidade de
para baixo (ou seja, segundo a convenção de cima positiva).
Resposta
a.
(para cima)
b.
c. e
d. (para cima) e
(ou
para baixo)
e. (ou
para baixo)
b.
c.
d.
e.