Um menino joga uma pedra para o alto e,depoisde 3,0 s, ela volta às suas mãos. Desprezando-se a resistência do ar e adotando g=10 m / s^{2}, pergunta-se:
a. Com que velocidade ele lançou a pedra?
b. Qual a altura máxima por ela atingida?
c. Em que instantes ela está a 10 m de altura?
d. Quais as velocidades da pedra a 10 m de altura?
e. Com que velocidade ela atinge o solo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Informações dadas:
    • Um menino lança uma pedra verticalmente para cima e, depois de 3{,}0\\ \mathrm{s}, a pedra volta às suas mãos.
    • Despreza-se a resistência do ar.
    • A aceleração da gravidade é g = 10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    • Pressupõe-se que a pedra é lançada e recuperada no mesmo nível (a altura das mãos é a mesma na saída e na chegada).
  • Perguntas:
    a. Com que velocidade ele lançou a pedra?
    b. Qual a altura máxima por ela atingida?
    c. Em que instantes ela está a 10\\ \mathrm{m} de altura?
    d. Quais as velocidades da pedra a 10\\ \mathrm{m} de altura?
    e. Com que velocidade ela atinge o solo?

Passo 2

Escolhendo convenções e as fórmulas que vamos usar (aqui eu te explico a teoria passo a passo, sem pular etapas):
  • Convenção de sinais: vou tomar para cima como sentido positivo. Assim, a aceleração da pedra é -g, ou seja -10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Grandezas e fórmulas básicas do movimento uniformemente acelerado (aplicáveis ao movimento vertical sem resistência do ar):
    • Velocidade instantânea: \displaystyle v(t)=u + a t, onde
      • v(t) é a velocidade no instante t,
      • u é a velocidade inicial (no instante t=0),
      • a é a aceleração (aqui a=-g).
    • Posição (deslocamento vertical) relativa ao ponto de lançamento: \displaystyle y(t)=u t + \tfrac{1}{2} a t^{2}, onde
      • y(t) é a altura (positiva para cima) medida a partir do ponto de lançamento.
    • Relação energia/velocidade (útil às vezes): \displaystyle v^{2}=u^{2}+2 a \Delta y, onde \Delta y é o deslocamento vertical.
  • Observação sobre tempo de subida e descida: num lançamento vertical para o mesmo nível, o tempo total de voo T é o dobro do tempo de subida até a altura máxima, porque o movimento é simétrico (subida e descida simétricas se a é constante). Assim, o tempo de subida é T/2.
Agora que já estabelecemos as fórmulas e o significado de cada variável, vamos aplicar ao problema.

Passo 3

Calcular a velocidade inicial u (resposta da letra a):
  • Do enunciado sabemos que o tempo total de voo é T=3{,}0\\ \mathrm{s}. Portanto o tempo de subida (até a altura máxima) é
    t_{\text{subida}}=\frac{T}{2}=\frac{3{,}0\\ \mathrm{s}}{2}=1{,}5\\ \mathrm{s}.
  • Na subida, no instante de altura máxima a velocidade é zero. Usando \displaystyle v(t)=u + a t com v=0, a=-g e t=t_{\text{subida}}, temos
    0 = u - g\,t_{\text{subida}}.
    Isolando u,
    u = g\,t_{\text{subida}}.
  • Substituindo os valores ( g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} e t_{\text{subida}}=1{,}5\\ \mathrm{s}):
    u = 10\cdot 1{,}5 = 15\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular a altura máxima atingida (resposta da letra b):
Vou mostrar duas maneiras equivalentes — escolhe a que tu achar mais simples na prova.
Método 1 (usando y(t)):
  • A altura máxima é y no instante t_{\text{subida}}=1{,}5\\ \mathrm{s}. Usando \displaystyle y(t)=u t + \tfrac{1}{2} a t^{2} com a=-g, y_{\max} = u\,t_{\text{subida}} - \tfrac{1}{2} g\,t_{\text{subida}}^{2}.
  • Substituindo u=15\\ \mathrm{m/s} e t_{\text{subida}}=1{,}5\\ \mathrm{s}: y_{\max} = 15\cdot 1{,}5 - \tfrac{1}{2}\cdot 10 \cdot (1{,}5)^{2}.Vamos calcular passo a passo:
    • 15\cdot 1{,}5 = 22{,}5.
    • (1{,}5)^{2}=2{,}25.
    • \tfrac{1}{2}\cdot 10 \cdot 2{,}25 = 5\cdot 2{,}25 = 11{,}25.
    • Então y_{\max}=22{,}5 - 11{,}25 = 11{,}25\\ \mathrm{m}.
Método 2 (fórmula direta): \displaystyle y_{\max}=\frac{u^{2}}{2g}.
  • Substituindo u=15\\ \mathrm{m/s} e g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}: y_{\max}=\frac{15^{2}}{2\cdot 10}=\frac{225}{20}=11{,}25\\ \mathrm{m},que coincide com o resultado anterior.

Passo 5

Encontrar os instantes em que a pedra está a 10\\ \mathrm{m} de altura (resposta da letra c):
  • Queremos resolver para t a equação
    y(t)=u t - \tfrac{1}{2}g t^{2}=10\\ \mathrm{m}.
    Substituindo u=15 e g=10, fica
    15 t - 5 t^{2} = 10.
  • Colocando em forma padrão (todos os termos do mesmo lado):
    -5 t^{2} + 15 t - 10 = 0.
    Dividindo toda a equação por -5 (para simplificar):
    t^{2} - 3 t + 2 = 0.
  • Essa é uma equação quadrática simples que fatoriza:
    t^{2} - 3 t + 2 = (t-1)(t-2)=0.
    Logo as soluções são
    t=1\\ \mathrm{s}\quad\text{e}\quad t=2\\ \mathrm{s}.
Interpretation: primeiro a pedra sobe e passa por 10\\ \mathrm{m} em t=1{,}0\\ \mathrm{s} com velocidade para cima; depois, na descida, volta a passar por 10\\ \mathrm{m} em t=2{,}0\\ \mathrm{s} com velocidade para baixo.

Passo 6

Calcular as velocidades da pedra quando ela está a 10\\ \mathrm{m} (resposta da letra d):
  • Usamos \displaystyle v(t)=u - g t com u=15\\ \mathrm{m/s} e g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Para t=1{,}0\\ \mathrm{s}:
    v(1)=15 - 10\cdot 1 = 5\\ \mathrm{m/s}.
    O sinal positivo (segundo nossa convenção) indica que a pedra está se movendo para cima nesse instante.
  • Para t=2{,}0\\ \mathrm{s}:
    v(2)=15 - 10\cdot 2 = -5\\ \mathrm{m/s}.
    O sinal negativo indica movimento para baixo; a rapidez é 5\\ \mathrm{m/s} para baixo.

Passo 7

Calcular com que velocidade ela atinge o solo (resposta da letra e):
  • Aqui precisamos interpretar a frase do enunciado. O enunciado diz que “depois de 3{,}0\\ \mathrm{s}, ela volta às suas mãos”. Isso significa que a pedra retorna ao mesmo nível do lançamento (as mãos do menino) no instante t=3{,}0\\ \mathrm{s}. Como o enunciado pede “Com que velocidade ela atinge o solo?”, adotando que o nível de lançamento/captura é o mesmo nível de referência (isto é, que o solo referido é o nível de onde foi lançada — se o professor usou “solo” para indicar esse nível), então queremos a velocidade quando a pedra retorna ao nível inicial no instante t=3{,}0\\ \mathrm{s}.
  • Pelo princípio de simetria do movimento vertical sem resistência do ar, a velocidade ao voltar ao mesmo nível tem magnitude igual à velocidade inicial e sentido oposto. Assim a velocidade é -u (negativa, pois agora para baixo). Calculando com a fórmula \displaystyle v(t)=u - g t em t=3{,}0\\ \mathrm{s}:
    v(3{,}0)=15 - 10\cdot 3{,}0 = 15 - 30 = -15\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretando: a pedra atinge o nível do lançamento com velocidade de 15\\ \mathrm{m/s} para baixo (ou seja, -15\\ \mathrm{m/s} segundo a convenção de cima positiva).

Resposta

a. 15\\ \mathrm{m/s} (para cima)
b. 11{,}25\\ \mathrm{m}
c. t=1{,}0\\ \mathrm{s} e t=2{,}0\\ \mathrm{s}
d. v(1{,}0)=5\\ \mathrm{m/s} (para cima) e v(2{,}0)=-5\\ \mathrm{m/s} (ou 5\\ \mathrm{m/s} para baixo)
e. -15\\ \mathrm{m/s} (ou 15\\ \mathrm{m/s} para baixo)

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