1. Seja A=\left(\begin{array}{ccc}3 & x^{2} & x-2 \\\\ 4 & -2 & x+2 y \\\\ 2 x & x+y & 5\end{array}\right) uma matriz simétrica, isto é, A^{t}=A o valor de x+2 y é:
    b) 2 ;
    c) 0 ;
    d) -2 ;
    a) 4 ;
    e) -4 .

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 3 & x^{2} & x-2\\[4pt] 4 & -2 & x+2y\\[4pt] 2x & x+y & 5 \end{pmatrix}
e diz que A é simétrica, isto é A^{t}=A. A pergunta é: qual o valor de x+2y?
Listei as entradas relevantes da matriz (peguei todas da matriz dada):
  • a_{12}=x^{2}, a_{21}=4;
  • a_{13}=x-2, a_{31}=2x;
  • a_{23}=x+2y, a_{32}=x+y.]

Passo 2

Lembrete importante sobre matriz simétrica: A^{t}=A significa que cada entrada fora da diagonal deve ser igual à sua transposta correspondente. Em símbolos, para todos i\neq j,
a_{ij}=a_{ji}.
Portanto, das entradas que listei surgem as igualdades:
x^{2}=4,\qquad x-2=2x,\qquad x+2y=x+y.
Vou resolver essas três igualdades para encontrar x e y.

Passo 3

Resolver x^{2}=4. Isto é uma equação quadrática simples; passa a raiz quadrada de ambos os lados:
x^{2}=4\quad\Rightarrow\quad x=\pm 2.
Então, a partir dessa igualdade temos duas possibilidades preliminares: x=2 ou x=-2.

Passo 4

Resolver x-2=2x. Esta é uma equação linear em x. Subtraindo x dos dois lados:
x-2=2x\quad\Rightarrow\quad -2=x.
Logo x=-2. Isso elimina a possibilidade x=2 obtida antes, deixando x=-2 como o valor que satisfaz simultaneamente as condições de simetria.

Passo 5

Com x=-2, agora uso a igualdade x+2y=x+y. Subtraindo x dos dois lados obtemos:
x+2y=x+y\quad\Rightarrow\quad 2y=y.
Subtraindo y dos dois lados:
2y-y=0\quad\Rightarrow\quad y=0.

Passo 6

Agora calculo x+2y com os valores encontrados x=-2 e y=0:
x+2y = (-2)+2\cdot 0 = -2.
Comparando com as alternativas, isso corresponde à alternativa indicada.

Resposta

d) -2

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