Questão 1: (2,5 pontos) Estude a posição relativa da reta r e s no caso:
r: x+32=y-14=z, s:r 2 x-y+7=0 x+y-6 z+2=0
Justifique seus argumentos.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a posição relativa entre a reta r e a reta s em R^3. O conteúdo é geometria analítica de retas no espaço: vamos extrair o vetor direção de r e de s, verificar se são paralelos e testar se as retas se intersectam ou coincidem.

Passo 2

Da equação simétrica de r,
x+32=y-14=z=t,
temos a parametrização
x=2t-3, y=4t+1, z=t
logo o vetor direção de r é
vec u = (2,4,1)

Passo 3

A reta s é interseção dos planos
2x-y+7=0, x+y-6z+2=0
cuja normais são vec n1=(2,-1,0) e vec n2=(1,1,-6). O vetor direção de s é dado pelo produto vetorial:
vec v = vec n1 times vec n2 = i & j & k 2 & -1 & 0 1 & 1 & -6 = (6,,12,,3) =3,(2,4,1)

Passo 4

Como vec v = 3,vec u, os vetores direção de r e s são paralelos. Logo as retas são paralelas ou coincidem.

Passo 5

Para decidir, basta ver se algum ponto de r pertence a s. Tomando t=0 em r obtemos
P = (-3,,1,,0)
Substituindo em 2x-y+7=0 e em x+y-6z+2=0:
2(-3)-1+7=0, -3+1-0+2=0,
logo P satisfaz ambas as equações de s.

Passo 6

Direções paralelas e um ponto em comum implicam que as retas coincidem.

Resposta

As retas r e s coincidem.

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