Qual é o determinante da seguinte matriz?
A=[ccccc 1 & 2 & 0 & 0 & 3 0 & 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 0 & -1 3 & 1 & 2 & -1 & 4 1 & -2 & -1 & 0 & 5 ]

Passo 1

O enunciado pede o determinante de
A = 1 & 2 & 0 & 0 & 3 0 & 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 0 & -1 3 & 1 & 2 & -1 & 4 1 & -2 & -1 & 0 & 5
O conteúdo é cálculo de determinante usando expansão por cofatores e identificação de colunas quase nulas.

Passo 2

Escolhemos expandir det(A) pelas colunas 3 e 4, pois nelas só aparecem entradas não-nulas nas linhas 4 e 5. Denotando Cij o cofator,
det(A) = sumi=1^5 ai3(-1)^i+3det(Mi3) +sumi=1^5 ai4(-1)^i+4det(Mi4)
Os únicos ai3neq0 são a4,3=2 e a5,3=-1; o único ai4neq0 é a4,4=-1. Logo
det(A) = -2,det(M4,3) -det(M5,3) -det(M4,4)

Passo 3

O menor M4,3 (linha 4, coluna 3 removidas) é
M4,3 = 1 & 2 & 0 & 3 0 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & -1 1 & -2 & 0 & 5 ,
cuja terceira coluna é toda zero, então det(M4,3)=0.

Passo 4

O menor M5,3 (linha 5, coluna 3 removidas) é
M5,3 = 1 & 2 & 0 & 3 0 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & -1 3 & 1 & -1 & 4
Note que a terceira coluna é (0,0,0,-1)^T. Expansão por essa coluna dá
det(M5,3) = (-1),(-1)^4+3, det 1 & 2 & 3 0 & 1 & 1 0 & 1 & -1 = (+1),det(B),
onde
B = 1 & 2 & 3 0 & 1 & 1 0 & 1 & -1
Como a primeira coluna de B é (1,0,0)^T,
det(B)=1cdotdet1&11&-1 =1cdot(-2)=-2
Logo det(M5,3)=-2.

Passo 5

O menor M4,4 (linha 4, coluna 4 removidas) é
M4,4 = 1 & 2 & 0 & 3 0 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & -1 1 & -2 & -1 & 5
Aqui a terceira coluna é (0,0,0,-1)^T. Expansão por ela traz novamente o mesmo 3times3 B. Então
det(M4,4) = (-1),(-1)^4+3,det(B) = +1cdot(-2)=-2

Passo 6

Substituindo em
det(A) = -2cdot0 -(-2) -(-2) = 2+2 = 4

Resposta

4

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