Sejam f: V W uma função linear, A=v1, ldots, vn uma base de V e B=w1, ldots, wm uma base de W. Estabeleça se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
A função f é injetora se, e somente se, f(vi) neq 0 para todo i.

Passo 1

O enunciado considera uma aplicação linear f:Vto W e duas bases A=underline v1,dots,underline vn de V e B de W. Pergunta se
“A função f é injetora se, e somente se, f(underline vi)neq 0 para todo i”.
O conteúdo é teoria de núcleos e linearidade: sabemos que f é injetora exatamente quando ker f=0.

Passo 2

Mostramos que a condição é necessária. Se f é injetora, então ker f=0. Se existisse algum i tal que f(underline vi)=0, então underline viinker f e underline vineq0, o que contradiz ker f=0. Logo, f injetora implica f(underline vi)neq0 para todo i.

Passo 3

Agora vemos que a condição não é suficiente. Considere V=W= R^2 e defina
f(x,y) = (,x+y,,0),
Na base canônica underline v1=(1,0), underline v2=(0,1) temos
f(underline v1) = (1,0)neq0, f(underline v2) = (1,0)neq0
Mesmo assim f(1,-1) = (0,0), portanto ker f contém o vetor (1,-1)neq0 e f não é injetora. Isso mostra que ter todas as imagens dos vetores de base não nulas não garante injetividade.

Resposta

Falsa.

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