Sejam uma função linear, uma base de e uma base de W. Estabeleça se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
A função f é injetora se, e somente se, f(vi) neq 0 para todo i.
Passo 1
O enunciado considera uma aplicação linear f:Vto W e duas bases A=underline v1,dots,underline vn de V e B de W. Pergunta se
“A função f é injetora se, e somente se, f(underline vi)neq 0 para todo i”.
O conteúdo é teoria de núcleos e linearidade: sabemos que f é injetora exatamente quando ker f=0.
Passo 2
Mostramos que a condição é necessária. Se f é injetora, então ker f=0. Se existisse algum i tal que f(underline vi)=0, então underline viinker f e underline vineq0, o que contradiz ker f=0. Logo, f injetora implica f(underline vi)neq0 para todo i.
Passo 3
Agora vemos que a condição não é suficiente. Considere V=W= R^2 e defina
f(x,y) = (,x+y,,0),
Na base canônica underline v1=(1,0), underline v2=(0,1) temos
Mesmo assim f(1,-1) = (0,0), portanto ker f contém o vetor (1,-1)neq0 e fnão é injetora. Isso mostra que ter todas as imagens dos vetores de base não nulas não garante injetividade.