Qual é a dimensão da imagem da seguinte função linear f: R^5 R^4 ?
f(c x y z w u )=(c -x+3 y+9 z-2 w-3 u 2 x-y-8 z+4 w+u x+2 y+z+2 w-2 u x+y-z+2 w-u )

Passo 1

Beleza, vamos começar! A questão pede para descobrir a dimensão da imagem de uma função linear f: R^5 R^4 . Isso envolve conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e o que chamamos de “posto” ou “rank” de uma matriz. Para resolver, vamos montar a matriz que representa a função f e então encontrar o seu posto.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz associada à função f . A função está mapeando vetores de R^5 para R^4 , então nossa matriz será de tamanho 4 times 5 . Cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes das variáveis x, y, z, w, u nas equações de f .

Passo 3

Vamos escrever as equações de f de forma organizada:
f(c x y z w u )=(c - x + 3 y + 9 z - 2 w - 3 u 2 x - y - 8 z + 4 w + u x + 2 y + z + 2 w - 2 u x + y - z + 2 w - u )

Passo 4

A partir dessas equações, a matriz A que representa a função f é:
A = -1 & 3 & 9 & -2 & -3 2 & -1 & -8 & 4 & 1 1 & 2 & 1 & 2 & -2 1 & 1 & -1 & 2 & -1

Passo 5

Agora, para encontrar o posto da matriz A , precisamos reduzir a matriz para a forma escalonada por linhas usando operações elementares (troca de linhas, multiplicação por constantes e somas de linhas). O posto será igual ao número de linhas não nulas na forma escalonada.

Passo 6

Vamos começar a reduzir a matriz A :
-1 & 3 & 9 & -2 & -3 2 & -1 & -8 & 4 & 1 1 & 2 & 1 & 2 & -2 1 & 1 & -1 & 2 & -1
Primeiro, vamos trocar a primeira linha pela terceira para facilitar os cálculos:
1 & 2 & 1 & 2 & -2 2 & -1 & -8 & 4 & 1 -1 & 3 & 9 & -2 & -3 1 & 1 & -1 & 2 & -1

Passo 7

Em seguida, vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (primeiro elemento da primeira linha):
  • Linha 2: L2 - 2L1
  • Linha 3: L3 + L1
  • Linha 4: L4 - L1
Após essas operações:
1 & 2 & 1 & 2 & -2 0 & -5 & -10 & 0 & 5 0 & 5 & 10 & 0 & -5 0 & -1 & -2 & 0 & 1

Passo 8

Agora, vamos normalizar a segunda linha dividindo por -5:
1 & 2 & 1 & 2 & -2 0 & 1 & 2 & 0 & -1 0 & 5 & 10 & 0 & -5 0 & -1 & -2 & 0 & 1

Passo 9

Em seguida, eliminamos os elementos acima e abaixo do pivô da segunda coluna:
  • Linha 1: L1 - 2L2
  • Linha 3: L3 - 5L2
  • Linha 4: L4 + L2
Após essas operações:
1 & 0 & -3 & 2 & 0 0 & 1 & 2 & 0 & -1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 10

Observamos que as duas últimas linhas ficaram completamente nulas, o que significa que temos apenas dois pivôs nas primeiras duas linhas.

Resposta

A dimensão da imagem da função linear f é 2.

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