Qual é a dimensão da imagem da seguinte função linear ?
Passo 1
Beleza, vamos começar! A questão pede para descobrir a dimensão da imagem de uma função linear f: R^5 R^4 . Isso envolve conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e o que chamamos de “posto” ou “rank” de uma matriz. Para resolver, vamos montar a matriz que representa a função f e então encontrar o seu posto.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz associada à função f . A função está mapeando vetores de R^5 para R^4 , então nossa matriz será de tamanho 4 times 5 . Cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes das variáveis x, y, z, w, u nas equações de f .
Passo 3
Vamos escrever as equações de f de forma organizada:
f(c x y z w u )=(c - x + 3 y + 9 z - 2 w - 3 u 2 x - y - 8 z + 4 w + u x + 2 y + z + 2 w - 2 u x + y - z + 2 w - u )
Passo 4
A partir dessas equações, a matriz A que representa a função f é:
Agora, para encontrar o posto da matriz A , precisamos reduzir a matriz para a forma escalonada por linhas usando operações elementares (troca de linhas, multiplicação por constantes e somas de linhas). O posto será igual ao número de linhas não nulas na forma escalonada.