Sejam f: V W uma função linear, A=v1, ldots, vn uma base de V e B=w1, ldots, wm uma base de W. Estabeleça se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
A função f é sobrejetora se, e somente se, wi in Im(f) para todo i.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos uma transformação linear
;f:Vto W;
e bases A=underline v1,dots,underline vn de V e B=underline w1,dots,underline wm de W. A afirmação diz:
f é sobrejetora se, e somente se, cada underline wi pertence a Im(f).”
O conteúdo principal aqui é a definição de sobrejetividade para transformações lineares:
f é sobrejetora ;Long<=ftrightarrow; Im(f)=W é

Passo 2

Prova do “só se”: suponha que f é sobrejetora. Então, por definição,
Im(f)=W
Como cada underline wi pertence a W, segue imediatamente que
underline wiin Im(f) para todo i=1,dots,m

Passo 3

Prova do “se”: agora suponha que
underline wiin Im(f) para todo i=1,dots,m
Isso significa que, para cada i, existe underline v^(i)in V tal que
fl(underline v^(i)r)=underline wi
Como Im(f) é subespaço de W e contém todos os vetores da base B, ele contém todo o espaço gerado por B. Mas B gera W, logo
Im(f)=W,
isto é, f é sobrejetora.

Resposta

Verdadeiro.

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