Determinar
e
, se
e
Passo 1
O enunciado dá duas informações sobre os números
e
e pede que os determinemos. As informações são:
Ou seja: a soma é
e a razão entre o mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comum é
. Vamos usar essas duas condições para encontrar
e
.
Passo 2
Primeiro uma ideia-chave (explicando com calma): seja
. Então podemos escrever
onde
e
são inteiros positivos e
(por construção, dividimos todo fator comum em
). Uma propriedade muito útil é que, nessas condições,
Explicando por que: como
e
são coprimos, o mmc de
e
é
vezes o mmc de
e
, e como
temos
, daí
.
Agora usemos a razão dada:
Portanto a condição
fica simplesmente
Também a soma
se escreve
logo
Então temos o sistema em inteiros positivos
com
e
inteiro positivo.
Passo 3
A ideia seguinte: como
, o inteiro
é um divisor de
. Vamos fatorar
:
Logo os divisores positivos de
são
. Assim
só pode ser um desses valores.
Passo 4
Agora precisamos achar pares de inteiros positivos
tais que
e
. Vamos fatorar
:
Para que
e
sejam coprimos, cada primo (com sua potência) de
deve ficar todo em um dos dois fatores — isto é, não podem compartilhar um mesmo primo. Assim os pares (até ordem) possíveis são obtidos distribuindo os fatores primos entre
e
. Os pares coprimos que multiplicam
são:
(Os demais divisores produzem pares com fator comum maior que
, por exemplo
têm gcd
,
têm gcd
, etc.)
Passo 5
Para cada par coprimo
calculamos
e verificamos se existe
inteiro tal que
. Façamos isso:
-
Para
: . Então , que não é inteiro (pois não divide ). Portanto esse par não serve. -
Para
: . Então , não é inteiro. Não serve. -
Para
: . Então
que é inteiro. Então esse par é válido com
.
- Para
: . Então
que é inteiro. Então esse par é válido com
.
Portanto há duas possibilidades para
:
e
. Lembre-se que a ordem de
pode ser trocada (isso troca
e
).
Passo 6
Agora reconstruímos
e
a partir de
e
.
Para
:
Verificação rápida:
,
, e
. Soma
.
Para
:
Verificação rápida:
,
, e
. Soma
.
Portanto as duas soluções (considerando ordem) são
e
, e naturalmente podemos trocar
com
em cada par.