Determinar a e b, se a+b=589 e \frac{m m c(a, b)}{m d c(a, b)}=84

Passo 1

O enunciado dá duas informações sobre os números a e b e pede que os determinemos. As informações são:
a+b=589
\frac{\mathrm{mmc}(a,b)}{\mathrm{mdc}(a,b)}=84
Ou seja: a soma é 589 e a razão entre o mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comum é 84. Vamos usar essas duas condições para encontrar a e b.

Passo 2

Primeiro uma ideia-chave (explicando com calma): seja g=\gcd(a,b). Então podemos escrever
a=gx,\qquad b=gy,
onde x e y são inteiros positivos e \gcd(x,y)=1 (por construção, dividimos todo fator comum em g). Uma propriedade muito útil é que, nessas condições,
\mathrm{mmc}(a,b)=gxy.
Explicando por que: como x e y são coprimos, o mmc de gx e gy é g vezes o mmc de x e y, e como \gcd(x,y)=1 temos \mathrm{mmc}(x,y)=xy, daí \mathrm{mmc}(a,b)=g\cdot xy.
Agora usemos a razão dada:
\frac{\mathrm{mmc}(a,b)}{\mathrm{mdc}(a,b)}=\frac{gxy}{g}=xy.
Portanto a condição \frac{\mathrm{mmc}(a,b)}{\mathrm{mdc}(a,b)}=84 fica simplesmente
xy=84.
Também a soma a+b se escreve
a+b=gx+gy=g(x+y),
logo
g(x+y)=589.
Então temos o sistema em inteiros positivos
xy=84,\qquad g(x+y)=589,
com \gcd(x,y)=1 e g inteiro positivo.

Passo 3

A ideia seguinte: como g(x+y)=589, o inteiro g é um divisor de 589. Vamos fatorar 589:
589=19\cdot 31.
Logo os divisores positivos de 589 são 1,19,31,589. Assim g só pode ser um desses valores.

Passo 4

Agora precisamos achar pares de inteiros positivos (x,y) tais que xy=84 e \gcd(x,y)=1. Vamos fatorar 84:
84=2^2\cdot 3\cdot 7.
Para que x e y sejam coprimos, cada primo (com sua potência) de 84 deve ficar todo em um dos dois fatores — isto é, não podem compartilhar um mesmo primo. Assim os pares (até ordem) possíveis são obtidos distribuindo os fatores primos entre x e y. Os pares coprimos que multiplicam 84 são:
(1,84),\\ (3,28),\\ (4,21),\\ (7,12).
(Os demais divisores produzem pares com fator comum maior que 1, por exemplo (2,42) têm gcd 2, (6,14) têm gcd 2, etc.)

Passo 5

Para cada par coprimo (x,y) calculamos x+y e verificamos se existe g inteiro tal que g(x+y)=589. Façamos isso:
  • Para (x,y)=(1,84): x+y=85. Então g=\dfrac{589}{85}, que não é inteiro (pois 85 não divide 589). Portanto esse par não serve.
  • Para (x,y)=(4,21): x+y=25. Então g=\dfrac{589}{25}, não é inteiro. Não serve.
  • Para (x,y)=(3,28): x+y=31. Então
g=\frac{589}{31}=19,
que é inteiro. Então esse par é válido com g=19.
  • Para (x,y)=(7,12): x+y=19. Então
g=\frac{589}{19}=31,
que é inteiro. Então esse par é válido com g=31.
Portanto há duas possibilidades para (x,y,g): (3,28,19) e (7,12,31). Lembre-se que a ordem de x,y pode ser trocada (isso troca a e b).

Passo 6

Agora reconstruímos a e b a partir de a=gx e b=gy.
Para (x,y,g)=(3,28,19):
a=19\cdot 3=57,\qquad b=19\cdot 28=532.
Verificação rápida: \gcd(57,532)=19, \mathrm{mmc}(57,532)=19\cdot 3\cdot 28=1596, e \dfrac{1596}{19}=84. Soma 57+532=589.
Para (x,y,g)=(7,12,31):
a=31\cdot 7=217,\qquad b=31\cdot 12=372.
Verificação rápida: \gcd(217,372)=31, \mathrm{mmc}(217,372)=31\cdot 7\cdot 12=2604, e \dfrac{2604}{31}=84. Soma 217+372=589.
Portanto as duas soluções (considerando ordem) são (57,532) e (217,372), e naturalmente podemos trocar a com b em cada par.

Resposta

a=57,\\ b=532
a=217,\\ b=372

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