Determinar inteiros positivos a e b sabendo que: a \cdot b=765 e m d c(a, b)=6.

Passo 1

O enunciado pede para determinar inteiros positivos a e b sabendo que:
a\cdot b = 765
e
\operatorname{mdc}(a,b)=6.
Informações relevantes dadas:
  1. o produto de a e b vale 765;
  2. o máximo divisor comum de a e b é 6.

Passo 2

Primeiro raciocínio padrão (fórmula útil que vou usar e explicar): se \operatorname{mdc}(a,b)=d, então podemos escrever
a=d\cdot u,\qquad b=d\cdot v
onde u e v são inteiros positivos tais que \operatorname{mdc}(u,v)=1 (ou seja, u e v são coprimos). Aqui isso dá, com d=6,
a=6u,\qquad b=6v,\qquad \operatorname{mdc}(u,v)=1.
Essa representação é consequência direta da definição de máximo divisor comum: retirar o fator comum d deixa os restos coprimos.

Passo 3

Usando a=6u e b=6v no produto dado:
a\cdot b = (6u)(6v)=36\,u v.
Como a\cdot b=765, segue que
36\,u v = 765.
Isto implica que 36 divide 765. Portanto, uma consequência necessária das hipóteses é que 765 seja múltiplo de 36.

Passo 4

Vou mostrar por que isso é impossível: 36 não divide 765. Uma observação imediata e simples: 36 é par (tem fator 2), logo todo múltiplo de 36 é par; mas 765 é ímpar (termina em 5), então não pode ser múltiplo de 36. Essa já é uma contradição rápida.
Para deixar a justificativa ainda mais concreta, faço a fatoração em primos de 765:
765 = 3\cdot 255 = 3\cdot 3\cdot 85 = 3^2\cdot 5\cdot 17.
E a fatoração de 36 é
36 = 2^2\cdot 3^2.
Para que 36 dividisse 765 seria necessário que 765 contivesse os fatores 2^2 e 3^2. embora 765 tenha 3^2, ele não tem nenhum fator 2 (é ímpar), logo falta o 2^2. Portanto 36\nmid 765. Isso contradiz a consequência do passo anterior.

Passo 5

Como chegamos a uma contradição (as hipóteses implicariam que 36 divide 765, mas isso é falso), concluímos que não existem inteiros positivos a e b satisfazendo simultaneamente a\cdot b=765 e \operatorname{mdc}(a,b)=6.
Para fixar a ideia do método (caso você veja uma versão possível do problema com produto diferente): o passo padrão é escrever a=d u, b=d v com d=\operatorname{mdc}(a,b) e \operatorname{mdc}(u,v)=1. Então o produto dá d^2 u v; daí d^2 deve dividir o produto dado. Se d^2 não divide o produto, não há solução. Exemplo rápido: se o produto fosse 756 e d=6, teríamos u v = 756/36 = 21, e aí procurar pares coprimos u,v com produto 21 daria as soluções.

Resposta

Não existem inteiros positivos a e b que satisfaçam as condições.

Exercícios relacionados