Determinar inteiros positivos a e b sabendo que:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar inteiros positivos
e
sabendo que:
e
Informações relevantes dadas:
- o produto de
e vale ; - o máximo divisor comum de
e é .
Passo 2
Primeiro raciocínio padrão (fórmula útil que vou usar e explicar): se
, então podemos escrever
onde
e
são inteiros positivos tais que
(ou seja,
e
são coprimos). Aqui isso dá, com
,
Essa representação é consequência direta da definição de máximo divisor comum: retirar o fator comum
deixa os restos coprimos.
Passo 3
Usando
e
no produto dado:
Como
, segue que
Isto implica que
divide
. Portanto, uma consequência necessária das hipóteses é que
seja múltiplo de
.
Passo 4
Vou mostrar por que isso é impossível:
não divide
. Uma observação imediata e simples:
é par (tem fator
), logo todo múltiplo de
é par; mas
é ímpar (termina em
), então não pode ser múltiplo de
. Essa já é uma contradição rápida.
Para deixar a justificativa ainda mais concreta, faço a fatoração em primos de
:
E a fatoração de
é
Para que
dividisse
seria necessário que
contivesse os fatores
e
. embora
tenha
, ele não tem nenhum fator
(é ímpar), logo falta o
. Portanto
. Isso contradiz a consequência do passo anterior.
Passo 5
Como chegamos a uma contradição (as hipóteses implicariam que
divide
, mas isso é falso), concluímos que não existem inteiros positivos
e
satisfazendo simultaneamente
e
.
Para fixar a ideia do método (caso você veja uma versão possível do problema com produto diferente): o passo padrão é escrever
,
com
e
. Então o produto dá
; daí
deve dividir o produto dado. Se
não divide o produto, não há solução. Exemplo rápido: se o produto fosse
e
, teríamos
, e aí procurar pares coprimos
com produto
daria as soluções.
Resposta
Não existem inteiros positivos
e
que satisfaçam as condições.