Achar os inteiros
e
que verifiquem a seguinte igualdade
Passo 1
O enunciado pede: achar todos os inteiros
e
que verificam a igualdade
Informações dadas: os coeficientes são
e
e o termo à direita é
. Queremos todas as soluções inteiras
.
Passo 2
Primeiro passo lógico: verificar se existe solução inteira. Uma condição necessária e suficiente para a equação linear diofantina
ter solução inteira é que
divida
. Então calculamos
usando o algoritmo de Euclides. Faço as divisões sucessivas (mostrando cada resto):
Passo 3
Da última divisão não-nula obtemos
. Como
divide
, a condição é satisfeita: existem soluções inteiras e, na verdade, existem infinitas soluções.
Passo 4
Agora precisamos de uma solução particular. Para isso usamos o algoritmo extendido de Euclides: reescrever
como combinação linear de
e
, e depois multiplicar por
. Voltamos nas igualdades dos restos e fazemos substituições para obter a combinação:
Começamos de
Começamos de
Da divisão anterior temos
, substituindo:
Agora
, então
E
, então
Finalmente
, então
Portanto encontramos inteiros
e
tais que
Passo 5
Multiplicamos essa igualdade por
para obter uma solução particular da equação original:
Logo uma solução particular é
Verificação direta:
.
Passo 6
Agora explico a forma geral das soluções. Se
é uma solução particular e
, então todas as soluções inteiras de
são dadas por
onde
é qualquer inteiro. A razão: ao somar o vetor
multiplicado por um inteiro, o aumento total em
é zero, porque
Passo 7
No nosso caso
,
e
. Aplicando a fórmula com
obtemos a solução geral:
com
.
Como exemplo prático, escolhendo obtemos
e
, que verificam
. Então faz sentido e dá soluções pequenas também.
Como exemplo prático, escolhendo