Achar os inteiros x e y que verifiquem a seguinte igualdade
31 x+19 y=7

Passo 1

O enunciado pede: achar todos os inteiros x e y que verificam a igualdade
31x + 19y = 7.
Informações dadas: os coeficientes são 31 e 19 e o termo à direita é 7. Queremos todas as soluções inteiras (x,y).

Passo 2

Primeiro passo lógico: verificar se existe solução inteira. Uma condição necessária e suficiente para a equação linear diofantina ax+by=c ter solução inteira é que \gcd(a,b) divida c. Então calculamos \gcd(31,19) usando o algoritmo de Euclides. Faço as divisões sucessivas (mostrando cada resto):
31 = 19\cdot 1 + 12,
19 = 12\cdot 1 + 7,
12 = 7\cdot 1 + 5,
7 = 5\cdot 1 + 2,
5 = 2\cdot 2 + 1,
2 = 1\cdot 2 + 0.

Passo 3

Da última divisão não-nula obtemos \gcd(31,19)=1. Como 1 divide 7, a condição é satisfeita: existem soluções inteiras e, na verdade, existem infinitas soluções.

Passo 4

Agora precisamos de uma solução particular. Para isso usamos o algoritmo extendido de Euclides: reescrever 1 como combinação linear de 31 e 19, e depois multiplicar por 7. Voltamos nas igualdades dos restos e fazemos substituições para obter a combinação:
Começamos de
1 = 5 - 2\cdot 2.
Da divisão anterior temos 2 = 7 - 5, substituindo:
1 = 5 - 2\cdot(7 - 5) = 5 - 2\cdot 7 + 2\cdot 5 = 3\cdot 5 - 2\cdot 7.
Agora 5 = 12 - 7, então
1 = 3\cdot(12 - 7) - 2\cdot 7 = 3\cdot 12 - 3\cdot 7 - 2\cdot 7 = 3\cdot 12 - 5\cdot 7.
E 7 = 19 - 12, então
1 = 3\cdot 12 - 5\cdot(19 - 12) = 3\cdot 12 - 5\cdot 19 + 5\cdot 12 = 8\cdot 12 - 5\cdot 19.
Finalmente 12 = 31 - 19, então
1 = 8\cdot(31 - 19) - 5\cdot 19 = 8\cdot 31 - 8\cdot 19 - 5\cdot 19 = 8\cdot 31 - 13\cdot 19.
Portanto encontramos inteiros 8 e -13 tais que
31\cdot 8 + 19\cdot(-13) = 1.

Passo 5

Multiplicamos essa igualdade por 7 para obter uma solução particular da equação original:
31\cdot (8\cdot 7) + 19\cdot(-13\cdot 7) = 7.
Logo uma solução particular é
x_0 = 56,\qquad y_0 = -91.
Verificação direta: 31\cdot 56 + 19\cdot(-91) = 1736 - 1729 = 7.

Passo 6

Agora explico a forma geral das soluções. Se (x_0,y_0) é uma solução particular e d=\gcd(a,b), então todas as soluções inteiras de ax+by=c são dadas por
x = x_0 + \frac{b}{d}\,t,\qquad y = y_0 - \frac{a}{d}\,t,
onde t é qualquer inteiro. A razão: ao somar o vetor \big(\frac{b}{d},-\frac{a}{d}\big) multiplicado por um inteiro, o aumento total em ax+by é zero, porque
a\cdot\frac{b}{d} + b\cdot\left(-\frac{a}{d}\right)=0.

Passo 7

No nosso caso a=31, b=19 e d=1. Aplicando a fórmula com (x_0,y_0)=(56,-91) obtemos a solução geral:
x = 56 + 19t,
y = -91 - 31t,
com t\in\mathbb{Z}.
Como exemplo prático, escolhendo t=-3 obtemos x=-1 e y=2, que verificam 31(-1)+19\cdot 2=-31+38=7. Então faz sentido e dá soluções pequenas também.

Resposta

x = 56 + 19t,\quad t\in\mathbb{Z}
y = -91 - 31t,\quad t\in\mathbb{Z}

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