Determinar a^{2}+a b+b^{2} sabendo que a^{2}+b^{2}+26 a-30 b+394=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação
a^{2}+b^{2}+26a-30b+394=0
e pede para determinar o valor de
a^{2}+ab+b^{2}.
Informações relevantes: a e b são números (presumivelmente reais) que satisfazem a equação acima. A incógnita solicitada é uma expressão polinomial em a e b.

Passo 2

Vamos transformar a equação dada completando quadrados nas partes que envolvem a e b. Antes de aplicar no problema, um lembrete didático sobre completar o quadrado:
Regra prática: para uma expressão do tipo x^{2}+px pode-se escrever
x^{2}+px=\bigl(x+\tfrac{p}{2}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{p}{2}\bigr)^{2}.
Exemplo rápido: x^{2}+6x=\bigl(x+3\bigr)^{2}-9, porque p=6 e \tfrac{p}{2}=3.
Usaremos essa ideia para as partes a^{2}+26a e b^{2}-30b.

Passo 3

Aplicando a fórmula às partes em a e em b:
Para a:
a^{2}+26a=\bigl(a+13\bigr)^{2}-13^{2}=\bigl(a+13\bigr)^{2}-169.
Para b:
b^{2}-30b=\bigl(b-15\bigr)^{2}-15^{2}=\bigl(b-15\bigr)^{2}-225.
Substituindo essas expressões na equação dada:
\bigl(a+13\bigr)^{2}-169+\bigl(b-15\bigr)^{2}-225+394=0.
Agrupando os termos constantes (-169)-225+394=0, obtemos
\bigl(a+13\bigr)^{2}+\bigl(b-15\bigr)^{2}=0.
Como quadrados são não-negativos, a soma de dois quadrados só é zero se ambos os quadrados forem zero. Portanto
a+13=0\quad\text{e}\quad b-15=0,
isto é,
a=-13,\qquad b=15.

Passo 4

Agora substituímos a=-13 e b=15 na expressão que queremos:
a^{2}+ab+b^{2}=(-13)^{2}+(-13)\cdot15+(15)^{2}=169-195+225.

Resposta

199

Exercícios relacionados