Para determinar a aceleração de um pequeno planador descendo em um trilho de ar, mediu-se as suas velocidades ( \mathrm{v}_{1} \mathrm{e} \mathrm{v}_{2} ) em dois pontos distintos e o tempo decorrido entre esses pontos, obtendo \mathrm{v}_{1}=0,21 \pm 0,05 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, \mathrm{v}_{2}=0,85 \pm 0,05 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e \mathrm{t}=8,0 \pm 0,1 \mathrm{~s}.
assumindo que todas as incertezas são independentes e aleatórias, o que se pode dizer sobre a aceleração do planador?

Passo 1

O enunciado pede a aceleração média a de um planador, usando as velocidades iniciais e finais \mathrm{v}_1 e \mathrm{v}_2 medidas em instantes separados por um tempo t. O conteúdo é cinemática retilínea com aceleração constante e precisamos propagar incertezas independentes em uma diferença (velocidades) e uma divisão (pelo tempo).

Passo 2

A fórmula da aceleração média é
a = \frac{\Delta v}{t} = \frac{\mathrm{v}_2 - \mathrm{v}_1}{t}.
Substituindo os valores centrais,
a_{\text{cent}} = \frac{0{,}85 - 0{,}21}{8{,}0} = \frac{0{,}64}{8{,}0} = 0{,}08\\ \text{m/s}^2.

Passo 3

Para propagar as incertezas, usamos fórmulas de derivadas parciais. Definindo
a(\mathrm{v}_1,\mathrm{v}_2,t) = \frac{\mathrm{v}_2 - \mathrm{v}_1}{t},
temos
\frac{\partial a}{\partial \mathrm{v}_1} = -\frac{1}{t},\qquad \frac{\partial a}{\partial \mathrm{v}_2} = \frac{1}{t},\qquad \frac{\partial a}{\partial t} = -\frac{\mathrm{v}_2 - \mathrm{v}_1}{t^2}.
Como as incertezas são independentes,
\sigma_a = \sqrt{\Bigl(\frac{\partial a}{\partial \mathrm{v}_1}\sigma_{\mathrm{v}_1}\Bigr)^2 +\Bigl(\frac{\partial a}{\partial \mathrm{v}_2}\sigma_{\mathrm{v}_2}\Bigr)^2 +\Bigl(\frac{\partial a}{\partial t}\sigma_t\Bigr)^2}.

Passo 4

Substituindo \sigma_{\mathrm{v}_1}=\sigma_{\mathrm{v}_2}=0{,}05\\ \text{m/s} e \sigma_t=0{,}1\\ \text{s}:
\Bigl(\tfrac{\sigma_{\mathrm{v}_1}}{t}\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{\sigma_{\mathrm{v}_2}}{t}\Bigr)^2 = \frac{0{,}05^2 + 0{,}05^2}{8{,}0^2} = \frac{0{,}005}{64} \approx 7{,}8125\times10^{-5},
\Bigl(\frac{\mathrm{v}_2 - \mathrm{v}_1}{t^2}\,\sigma_t\Bigr)^2 = \frac{0{,}64^2}{8{,}0^4}\,(0{,}1)^2 = \frac{0{,}4096}{4096}\times0{,}01 \approx 1{,}0\times10^{-6}.
Somando e tirando raiz,
\sigma_a = \sqrt{7{,}8125\times10^{-5} + 1{,}0\times10^{-6}} \approx 8{,}9\times10^{-3}\\ \text{m/s}^2.

Passo 5

Arredondando a incerteza para um algarismo significativo 0{,}009\to0{,}01 e ajustando o valor central, obtemos
a = (0{,}08 \pm 0{,}01)\\ \text{m/s}^2.
Isso mostra que o planador tem aceleração positiva bem pequena, mas estatisticamente distinta de zero dentro das incertezas.

Resposta

a = (0{,}08 \pm 0{,}01)\\ \text{m/s}^2.

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