Na tabela a seguir encontram-se os valores obtidos experimentalmente para o tempo que um carro de massa 398,0 \pm 0,1 \mathrm{~g} percorre a distância de 36,45 \pm 0,05 \mathrm{~cm}.
\mathrm{T}(\mathrm{s}) \pm 0,001 \mathrm{~s} 1,280 1,220 1,250 1,240 1,200
Determine:
(a) A melhor estimativa e o intervalo em que se espera encontrar 68 \% dos resultados em medições subsequentes de t.
(b) O erro aleatório e o erro absoluto da medida do tempo. Escreva o resultado da medida do tempo de acordo com a teoria de erros.
(c) A melhor estimativa para a velocidade média do carro com o respectivo erro propagado. Escreva o resultado de acordo com a teoria de erros.
(d) A melhor estimativa para a energia cinética do carro com o respectivo erro propagado. Escreva o resultado de acordo com a teoria de erros.
(e) O erro percentual de precisão da energia cinética e avalie se foi um bom resultado.

Passo 1

O enunciado dá cinco medições do tempo t para o carro percorrer uma distância L, com os seguintes dados:
– Valores de t: 1{,}280, 1{,}220, 1{,}250, 1{,}240 e 1{,}200,s, cada uma com erro instrumental \pm0{,}001,s.
– Comprimento L=36{,}45\pm0{,}05,cm.
– Massa m=398{,}0\pm0{,}1,g.
Conteúdo: estatística básica (média, desvio) e propagação de erros para v=L/t e K=\tfrac12mv^2.

Passo 2

Calcular a média aritmética
\bar t=\frac{1{,}280+1{,}220+1{,}250+1{,}240+1{,}200}{5} =1{,}238\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Calcular o desvio-padrão amostral
s_t =\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^5(t_i-\bar t)^2} \approx0{,}0303\\ \mathrm{s}.
Para 68 % das futuras medições espera-se
\bar t\pm s_t =1{,}238\pm0{,}030\\ \mathrm{s},
isto é, intervalo [1{,}208;\,1{,}268],s.

Passo 4

O erro aleatório na média é o erro-padrão
\Delta_{\rm rand}=\frac{s_t}{\sqrt{N}} \approx\frac{0{,}0303}{\sqrt5}\approx0{,}0136\\ \mathrm{s}.
Combinando com o erro instrumental \Delta_{\rm inst}=0{,}001,s, o erro absoluto é
\Delta t =\sqrt{\Delta_{\rm rand}^2+\Delta_{\rm inst}^2} \approx0{,}014\\ \mathrm{s}.
Portanto, segundo teoria de erros,
t=1{,}238\pm0{,}014\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Converter L para metros: L=0{,}3645\pm0{,}0005,m.
A velocidade média é
v=\frac{L}{t} =\frac{0{,}3645}{1{,}238} \approx0{,}2944\\ \mathrm{m/s}.
Propagação:
\frac{\Delta v}{v} =\sqrt{\Bigl(\frac{\Delta L}{L}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{\Delta t}{t}\Bigr)^2} \approx\sqrt{(0{,}00137)^2+(0{,}0113)^2} \approx0{,}0114,
logo \Delta v\approx0{,}0114\times0{,}2944\approx0{,}0034,m/s.
Assim
v=0{,}294\pm0{,}003\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Massa em kg: m=0{,}3980\pm0{,}0001,kg.
Energia cinética
K=\tfrac12\,m\,v^2 \approx\tfrac12\times0{,}3980\times(0{,}2944)^2 \approx0{,}01725\\ \mathrm{J}.
Propagação:
\frac{\Delta K}{K} =\sqrt{\Bigl(\frac{\Delta m}{m}\Bigr)^2+\bigl(2\,\frac{\Delta v}{v}\bigr)^2} \approx\sqrt{(2{,}5\times10^{-4})^2+(2\times0{,}0114)^2} \approx0{,}0228,
logo \Delta K\approx0{,}0228\times0{,}01725\approx0{,}00039,J.
Portanto
K=0{,}01725\pm0{,}00039\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Erro percentual de K:
\frac{\Delta K}{K}\times100\%\approx2{,}28\%\approx2{,}3\%.
Um erro de 2{,}3\% é considerado bom para experimentos de transporte em laboratório.

Resposta

(a) \bar t=1{,}238 s; intervalo 68 % em [1{,}208;\,1{,}268] s.
(b) \Delta_{\rm rand}=0{,}0136 s, \Delta t=0{,}014 s; t=1{,}238\pm0{,}014 s.
(c) v=0{,}294\pm0{,}003 m/s.
(d) K=0{,}01725\pm0{,}00039 J.
(e) Erro percentual \approx2{,}3\%, resultado bom.

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