A relação entre a diferença de potencial ( V ) e a corrente num varistor é comumente expressa pela equação V=C I^{B}, onde C e B são duas constantes (os parâmetros da equação). Um grupo de alunos mediu I em função de V e obteve os seguintes valores:
V(V) 12,00 27,50 63,00 108,50 232,00
I(m A) 0,200 1,000 5,007 14,054 70,178
(a) Construa o gráfico de V versus I e faça o ajuste para obter a equação V=f(I).
(b) Escreva a equação de V=f (I), analise a equação e determine as unidades dos parâmetros Ce B .
(c) Utilize a equação encontrada para determinar o valor de V para a corrente de 10 mA .

Passo 1

O enunciado dá a relação empírica
V = C\,I^{B}
entre a tensão V (em volts) e a corrente I (em miliampères) num varistor, e fornece cinco pares (I,V). Pede-se (a) ajustar uma curva de V versus I no formato V=f(I), (b) escrever essa equação e achar as unidades de C e B, e (c) usar a equação para calcular V quando I=10\\ \text{mA}. Para isso vamos linearizar a lei usando logaritmo natural e aplicar regressão linear.

Passo 2

Tomamos logaritmo natural em ambos os lados de
V = C\,I^{B}
ficando
\ln V = \ln C + B\,\ln I,
que é uma reta y = A + Bx com y=\ln V, x=\ln I e A=\ln C. Basta calcular \ln I e \ln V para cada dado e usar fórmulas de regressão.

Passo 3

Construímos a tabela dos valores calculados: \begin{array}{c|c|c} I\\ (\text{mA}) & \ln I & \ln V \\\ \hline 0{,}200 & -1{,}6094 & 2{,}4849\\\\ 1{,}000 & 0{,}0000 & 3{,}3142\\\\ 5{,}007 & 1{,}6109 & 4{,}1431\\\\ 14{,}054& 2{,}6438 & 4{,}6866\\\\ 70{,}178& 4{,}2497 & 5{,}4424 \end{array} Em seguida computamos \sum x=6{,}8950, \sum y=20{,}0712, \sum x^2=30{,}2401, \sum xy=38{,}2045,
com n=5.

Passo 4

Usamos as fórmulas da reta de mínimos quadrados:
B = \frac{n\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{n\sum x^2 - (\sum x)^2}
A = \frac{\sum y - B\,\sum x}{n}
Substituindo os valores numéricos obtemos
B \approx \frac{5\cdot38{,}2045 - 6{,}8950\cdot20{,}0712}{5\cdot30{,}2401 - (6{,}8950)^2} \approx0{,}508,
A = \ln C \approx \frac{20{,}0712 - 0{,}508\cdot6{,}8950}{5}\approx3{,}314 \quad\Longrightarrow\quad C = e^{3{,}314}\approx27{,}5.

Passo 5

Voltando à forma original, a equação ajustada é
V = 27{,}5\;I^{0{,}508}.
O expoente B=0{,}508 é adimensional, e a constante C tem unidades de \text{V}/(\text{mA})^{0{,}508} para que V fique em volts quando I está em miliampères.

Passo 6

Para I=10\\ \text{mA} calculamos
V = 27{,}5\,(10)^{0{,}508} \approx27{,}5\times3{,}22 \approx88{,}6\\ \text{V}.

Resposta

A equação ajustada é
V = 27{,}5\;I^{0{,}508},
onde B=0{,}508 (adimensional) e C=27{,}5\\ \text{V}/(\text{mA})^{0{,}508}. Para I=10\\ \text{mA} obtém-se V\approx88{,}6\\ \text{V}.

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