Uma estudante cria uma escala para medir massas utilizando uma mola. Ela prende a parte superior da mola a um suporte rígido, pendura um prato na parte inferior e põe uma fita métrica atrás do dispositivo para a leitura do comprimento da mola. Antes de utilizar a escala, ela deve calibrá-la; isto é, deve determinar a relação entre a massa posta no prato e o comprimento da mola. Para fazer a calibração, a estudante mede o comprimento L da mola para cinco massas distintas. Os valores obtidos são apresentados na tabela.
\mathrm{m}(\mathrm{kg}) 2 4 6 8 10
\mathrm{~L} \pm 0,5(\mathrm{~cm}) 42,0 48,4 51,3 56,3 58,6
Assumindo que a mola obedece à lei de Hooke, ela prevê que L deve ser uma função linear de m, L=A+B m.
(a) Para determinar a melhor estimativa e a incerteza das constantes A e B, a estudante fez um gráfico de L=f(m). Quais são as respostas dela para A e B ?
(b) Qual a equação L=f(m) encontrada pela estudante?
(c) Se ela põe uma massa desconhecida m no prato e observa que o comprimento da mola é L=53,2 \mathrm{~cm}, qual é o valor da massa m ?

Passo 1

O enunciado pede a calibração de uma balança de mola segundo a lei de Hooke, ou seja
L = A + B\,m
onde L é o comprimento da mola (em cm) e m a massa (em kg).
Temos cinco medidas com incerteza \sigma_L=0,5 cm: m: 2, 4, 6, 8, 10 L: 42,0; 48,4; 51,3; 56,3; 58,6
Vamos usar o método dos mínimos quadrados para encontrar A e B e suas incertezas.

Passo 2

Calculemos as somas necessárias:
\sum m = 30,\quad \sum m^2 = 220,\quad \sum L = 256,6,\quad \sum m\,L = 1621,8.
O número de pontos é n=5.

Passo 3

As fórmulas do ajuste linear são
B = \frac{n\sum mL - (\sum m)(\sum L)}{n\sum m^2 - (\sum m)^2}, \quad A = \frac{\sum L - B\,\sum m}{n}.
Substituindo,
B = \frac{5\cdot1621,8 - 30\cdot256,6}{5\cdot220 - 30^2} = \frac{8109 - 7698}{1100 - 900} = \frac{411}{200} = 2,055\;\text{cm/kg},
A = \frac{256,6 - 2,055\cdot30}{5} = \frac{256,6 - 61,65}{5} = 38,99\;\text{cm}.

Passo 4

Para a incerteza usamos
S_{xx} = \sum m^2 - \frac{(\sum m)^2}{n} = 220 - \frac{900}{5} = 40.
Então
\sigma_B = \sqrt{\frac{\sigma_L^2}{S_{xx}}} = \sqrt{\frac{0,5^2}{40}} = 0,079\;\text{cm/kg},
\sigma_A = \sqrt{\sigma_L^2\Bigl(\frac1n + \frac{\bar m^2}{S_{xx}}\Bigr)} = \sqrt{0,25\Bigl(\frac15 + \frac{6^2}{40}\Bigr)} = 0,52\;\text{cm}.

Passo 5

(a) A = (38,99 \pm 0,52),cm e B = (2,055 \pm 0,079),cm/kg.
(b) A equação encontrada é
L = (38,99 \pm 0,52) + (2,055 \pm 0,079)\,m.

Passo 6

(c) Para L=53,2,cm,
m = \frac{L - A}{B} = \frac{53,2 - 38,99}{2,055} \approx 6,9\;\text{kg}.

Resposta

(a) A = (38,99 \pm 0,52),cm, B = (2,055 \pm 0,079),cm/kg.
(b) L = (38,99 \pm 0,52) + (2,055 \pm 0,079)\,m.
(c) m \approx 6,9,kg.

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