Para determinar a altura do vão central de uma ponte, em uma margem é colocado um emissor MASER - equivalente a um LASER, mas com frequência fora da faixa de luz visível - e na outra margem um detector. Um feixe é apontado diretamente
do emissor para o detector, enquanto um segundo feixe é apontado para o vão central, que fica exatamente no ponto médio entre a fonte e o detector. O detector irá medir a interferência entre o raio direto e o refletido. Observa-se que há interferência completamente construtiva para comprimento de onda de 200 mm e 208 mm e nenhum outro valor nesse intervalo. A distância entre o detector e o emissor é de 800 m . Qual a altura do vão central? ( 45,7 \mathrm{~m} )

Passo 1

O enunciado dá um emissor e um detector separados por 800\\ \text{m}. De um lado, o feixe direto percorre essa distância. De outro, um feixe vai até o ponto médio elevado (altura h), reflete e volta ao detector. Aponteremos o conteúdo de interferência de ondas e usaremos a condição de máxima construtiva \Delta L = m\,\lambda para encontrar a diferença de caminho \Delta L e daí h.

Passo 2

Calculemos os comprimentos dos dois trajetos:
O caminho direto vale
L_{\text{direto}} = 800\\ \text{m}.
O caminho refletido é a soma da ida e volta até o ponto médio:
L_{\text{refletido}} = 2\sqrt{400^2 + h^2}\,.
Logo, a diferença de caminho é
\Delta L = L_{\text{refletido}} - L_{\text{direto}} = 2\sqrt{400^2 + h^2} - 800.

Passo 3

Para interferência construtiva vale
\Delta L = m\,\lambda,
com m inteiro. Observa-se que no intervalo entre \lambda_1 = 200\\ \text{mm}=0,2\\ \text{m} e \lambda_2=208\\ \text{mm}=0,208\\ \text{m} só ocorrem duas máximas, logo correspondem a ordens sucessivas m e m-1.

Passo 4

Escrevemos
\Delta L = m\,(0,2) \quad\text{e}\quad \Delta L = (m-1)\,(0,208).
Igualando as duas expressões para \Delta L:
m\cdot0,2 = (m-1)\cdot0,208 \;\Longrightarrow\;0,2m = 0,208m - 0,208 \;\Longrightarrow\;0,008m = 0,208 \;\Longrightarrow\;m = 26.
Logo
\Delta L = 26 \times 0,2 = 5,2\\ \text{m}.

Passo 5

Agora igualamos à fórmula de \Delta L:
2\sqrt{400^2 + h^2} - 800 = 5,2 \;\Longrightarrow\; 2\sqrt{400^2 + h^2} = 805,2 \;\Longrightarrow\; \sqrt{400^2 + h^2} = 402,6.
Elevando ao quadrado:
400^2 + h^2 = 402,6^2 = 162091, \quad h^2 = 162091 - 160000 = 2091,
portanto
h = \sqrt{2091} \approx 45,7\\ \text{m}.

Resposta

A altura do vão central é aproximadamente 45,7\\ \text{m}.

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