Uma fibra ótica consiste em um núcleo de vidro (índice de refração 1,3 ) envolvido por uma película (índice de refração 1,2). Suponha um feixe de luz que vai do ar para a fibra (incidente na superfície transversal da fibra), fazendo um ângulo \alpha com o eixo da fibra. Calcule o valor máximo de \alpha para o qual um raio pode se propagar pela fibra. ( 23^{\circ} )

Passo 1

O enunciado dá uma fibra óptica com núcleo de índice de refração n_{1}=1,3 e revestimento de índice n_{2}=1,2. Um raio dentro do núcleo faz um ângulo \alpha com o eixo da fibra, e queremos o valor máximo de \alpha para que ele ainda sofra reflexão total interna na interface núcleo-revestimento. Para isso, vamos usar o conceito de ângulo crítico e a geometria do trajeto do raio.

Passo 2

A condição de reflexão total interna na interface núcleo-revestimento é que o ângulo de incidência interno seja maior ou igual ao ângulo crítico \theta_{c}, dado por
\sin(\theta_{c})=\frac{n_{2}}{n_{1}}.

Passo 3

Dentro do núcleo, o raio forma com o eixo da fibra o ângulo \alpha. Na face cilíndrica do revestimento, a normal a essa superfície está perpendicular ao eixo da fibra, então o ângulo de incidência na interface é
\theta_{\text{incid}}=90^\circ-\alpha.
Para ter reflexão total interna, precisamos de
\theta_{\text{incid}}\ge\theta_{c} \quad\Longrightarrow\quad 90^\circ-\alpha\ge\theta_{c} \quad\Longrightarrow\quad \alpha\le90^\circ-\theta_{c}.

Passo 4

Calculemos numericamente o ângulo crítico:
\theta_{c}=\arcsin\!\biggl(\frac{1,2}{1,3}\biggr) =\arcsin\bigl(0,9231\ldots\bigr)\approx67{,}4^\circ.
Logo
\alpha_{\max}=90^\circ-\theta_{c} \approx90^\circ-67{,}4^\circ=22{,}6^\circ\approx23^\circ.

Resposta

O valor máximo de \alpha é aproximadamente 23^\circ.

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