1. Como determinar o ângulo entre dois planos que se interceptam?

Passo 1

O que o problema pede: determinar o ângulo entre dois planos que se interceptam.
Informações típicas que podem ser dadas (vou escrever em forma geral; use o que seu exercício fornece):
  • Dois planos em forma geral: a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0 e a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0.
  • Ou os planos podem ser dados por vetores diretores (duas retas, ou forma paramétrica).
    O enunciado pede o valor do ângulo \theta entre esses dois planos (normalmente o ângulo agudo, isto é 0 \le \theta \le \tfrac{\pi}{2}).

Passo 2

Ideia-chave (sem ainda calcular): cada plano tem um vetor normal — um vetor perpendicular ao plano. Se os planos são
a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0 \qquad\text{e}\qquad a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0,
os vetores normais são
n_1 = (a_1,b_1,c_1) \qquad\text{e}\qquad n_2 = (a_2,b_2,c_2).
Se o plano vier em forma paramétrica com dois vetores diretores u e v, então um normal é u\times v (produto vetorial). Vou explicar como obter um normal por produto vetorial, caso precise:
  • Para u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3),
u\times v = (u_2 v_3 - u_3 v_2,\; u_3 v_1 - u_1 v_3,\; u_1 v_2 - u_2 v_1).
Esse vetor é perpendicular aos dois vetores u e v, logo é normal ao plano gerado por u e v.

Passo 3

Ferramenta matemática central: produto escalar e relação com o cosseno do ângulo entre vetores.
Para dois vetores u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3) vale
u\cdot v = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 = \|u\|\|v\|\cos\varphi,
onde \|u\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2} é o comprimento de u e \varphi é o ângulo entre u e v. Essa fórmula é a base para medir ângulos em 3D.

Passo 4

Relacionando vetores normais ao ângulo entre planos: o ângulo \theta entre os dois planos é definido como o ângulo entre suas normais. Para obter sempre o ângulo agudo usamos o valor absoluto do produto escalar dividido pelos módulos:
\cos\theta = \dfrac{|n_1\cdot n_2|}{\|n_1\|\|n_2\|}.
Observações importantes:
  • O módulo/valor absoluto garante \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}].
  • Se n_1\cdot n_2=0 então \theta=\tfrac{\pi}{2} (planos perpendiculares).
  • Se n_1 é paralelo a n_2 (ou antiparalelo) então \theta=0 (planos paralelos ou coincidentes).

Passo 5

Receita prática passo a passo que dá para aplicar direto na prova:
  1. Identifique as normas dos planos. Se os planos estão em forma a x + b y + c z + d = 0, pegue n=(a,b,c).
  2. Calcule o produto escalar n_1\cdot n_2 = a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2.
  3. Calcule os comprimentos \|n_1\|=\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} e \|n_2\|=\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}.
  4. Calcule \cos\theta com a fórmula do Passo 4.
  5. Finalmente, obtenha \theta com \theta=\operatorname{arccos}(\cos\theta). (Se pedirem o ângulo em graus, converta de radianos.)

Passo 6

Exemplo completo e bem mastigado (faça igual na prova):
Dados os planos \;x+2y-z+3=0\; e \;2x-y+z-1=0.
  1. Normais: n_1=(1,2,-1), n_2=(2,-1,1).
  2. Produto escalar:
n_1\cdot n_2 = 1\cdot2 + 2\cdot(-1) + (-1)\cdot1 = 2 - 2 - 1 = -1.
  1. Normas:
\|n_1\|=\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6},
\|n_2\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}.
  1. Cosseno do ângulo:
\cos\theta = \dfrac{|{-1}|}{\sqrt{6}\,\sqrt{6}}=\dfrac{1}{6}.
  1. Ângulo:
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{1}{6}\right)\approx 1,403\\ \text{rad}\approx 80,41^\circ.
Pronto — esse é o procedimento e o cálculo passo a passo.

Passo 7

Casos especiais e dicas rápidas:
  • Se \dfrac{|n_1\cdot n_2|}{\|n_1\|\|n_2\|}=1 então \theta=0 (planos paralelos ou coincidentes).
  • Se n_1\cdot n_2=0 então \theta=\tfrac{\pi}{2} (planos perpendiculares).
  • Se os planos forem dados por vetores diretores, primeiro faça o produto vetorial para obter o normal de cada um.
  • Na prova, calcule com frações exatas quando possível; só use calculadora para \operatorname{arccos} ou para decimal final se exigido.

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\,\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\right)

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