- Como determinar o ângulo entre dois planos que se interceptam?
Passo 1
O que o problema pede: determinar o ângulo entre dois planos que se interceptam.
Informações típicas que podem ser dadas (vou escrever em forma geral; use o que seu exercício fornece):
- Dois planos em forma geral:
e . - Ou os planos podem ser dados por vetores diretores (duas retas, ou forma paramétrica).
O enunciado pede o valor do ânguloentre esses dois planos (normalmente o ângulo agudo, isto é ).
Passo 2
Ideia-chave (sem ainda calcular): cada plano tem um vetor normal — um vetor perpendicular ao plano. Se os planos são
os vetores normais são
Se o plano vier em forma paramétrica com dois vetores diretores
e
, então um normal é
(produto vetorial). Vou explicar como obter um normal por produto vetorial, caso precise:
- Para
e ,
Esse vetor é perpendicular aos dois vetores
e
, logo é normal ao plano gerado por
e
.
Passo 3
Ferramenta matemática central: produto escalar e relação com o cosseno do ângulo entre vetores.
Para dois vetores e
vale
Para dois vetores
onde
é o comprimento de
e
é o ângulo entre
e
. Essa fórmula é a base para medir ângulos em 3D.
Passo 4
Relacionando vetores normais ao ângulo entre planos: o ângulo
entre os dois planos é definido como o ângulo entre suas normais. Para obter sempre o ângulo agudo usamos o valor absoluto do produto escalar dividido pelos módulos:
Observações importantes:
- O módulo/valor absoluto garante
. - Se
então (planos perpendiculares). - Se
é paralelo a (ou antiparalelo) então (planos paralelos ou coincidentes).
Passo 5
Receita prática passo a passo que dá para aplicar direto na prova:
- Identifique as normas dos planos. Se os planos estão em forma
, pegue . - Calcule o produto escalar
. - Calcule os comprimentos
e . - Calcule
com a fórmula do Passo 4. - Finalmente, obtenha
com . (Se pedirem o ângulo em graus, converta de radianos.)
Passo 6
Exemplo completo e bem mastigado (faça igual na prova):
Dados os planos e
.
Dados os planos
- Normais:
, . - Produto escalar:
- Normas:
- Cosseno do ângulo:
- Ângulo:
Pronto — esse é o procedimento e o cálculo passo a passo.
Passo 7
Casos especiais e dicas rápidas:
- Se
então (planos paralelos ou coincidentes). - Se
então (planos perpendiculares). - Se os planos forem dados por vetores diretores, primeiro faça o produto vetorial para obter o normal de cada um.
- Na prova, calcule com frações exatas quando possível; só use calculadora para
ou para decimal final se exigido.