QUESTÃO 01 : Avalie os limites.
\lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right).

Passo 1

O enunciado pede que se avalie o limite
\lim_{x \rightarrow 0} x^{2}\cdot \sin\!\left(\frac{1}{x}\right).
Informações dadas e o que é pedido:
  • A expressão cuja limite deve ser calculado é x^{2}\cdot \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right).
  • O ponto para o qual x tende é 0.
  • Não há valor definido da função em x=0 no enunciado, apenas o limite quando x se aproxima de 0.
  • A pergunta é: qual é o valor do limite quando x aproxima-se de 0?

Passo 2

Entendendo o objetivo: o que significa \lim_{x\to 0} f(x)=L?
  • Significa que ao fazer x muito próximo de 0 (mas possivelmente diferente de 0), os valores de f(x) ficam arbitrariamente próximos de L.
  • Para mostrar que um limite vale L costuma-se usar desigualdades (se possível), o teorema do sanduíche (teorema da compressão) ou uma prova \varepsilon- \delta.
Vou explicar uma propriedade muito útil sobre a função \sin que será usada: para todo número real t vale
-1 \le \sin(t) \le 1.
Isto é, a função \sin é sempre limitada entre -1 e 1.

Passo 3

Aplicando a limitação da função seno ao nosso caso:
  • Substitua t=\dfrac{1}{x}. Para qualquer x\neq 0 existe t e ainda vale
-1 \le \sin\!\left(\frac{1}{x}\right) \le 1.
  • Multiplicando essa desigualdade por x^{2}, que é sempre não negativo, obtemos (para x\neq 0):
-x^{2} \le x^{2}\cdot \sin\!\left(\frac{1}{x}\right) \le x^{2}.
Essa desigualdade é crucial: ela “trava” a função entre -x^{2} e x^{2}.

Passo 4

Apresentando o Teorema do Sanduíche (Teorema da Compressão) de forma clara:
  • Enunciado: se existem funções g(x), f(x), h(x) tais que, numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a mesmo),
g(x)\le f(x)\le h(x),
e se
\lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L,
então
\lim_{x\to a} f(x)=L.
  • Intuição: quando f está sempre entre duas funções que convergem para o mesmo valor L, então f também tem que convergir para L.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Sanduíche ao nosso problema:
  • Já temos a desigualdade (para x\neq 0):
-x^{2} \le x^{2}\cdot \sin\!\left(\frac{1}{x}\right) \le x^{2}.
  • Calcule os limites das funções extremas quando x\to 0:
\lim_{x\to 0} (-x^{2}) = 0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0} x^{2} = 0.
  • Como as duas funções que “apertam” a nossa função têm limite 0 no ponto 0, pelo Teorema do Sanduíche segue que
\lim_{x\to 0} x^{2}\cdot \sin\!\left(\frac{1}{x}\right)=0.

Passo 6

Prova alternativa (mais rigorosa, \varepsilon- \delta) — útil para a prova se pedirem rigor:
  • Para qualquer \varepsilon>0 queremos mostrar que existe \delta>0 tal que, se 0<|x-0|<\delta, então
\left|x^{2}\cdot \sin\!\left(\frac{1}{x}\right)-0\right|<\varepsilon.
  • Usando |\sin(t)|\le 1 obtemos
\left|x^{2}\cdot \sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\right| \le x^{2}.
  • Basta garantir x^{2}<\varepsilon, isto é |x|<\sqrt{\varepsilon}. Assim basta escolher \delta=\sqrt{\varepsilon}. Então, sempre que 0<|x|<\delta teremos
\left|x^{2}\cdot \sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\right| \le x^{2} < \varepsilon,
o que prova rigorosamente que o limite é 0.

Passo 7

Resumo didático e dica prática para a prova:
  • Estratégia rápida: se aparecer uma expressão do tipo \text{(algo que tende a 0)}\times\text{(função limitada)}çã, então o produto tende a 0. Aqui \(x^{2} \to 0) e \sin(1/x) é limitada, logo o produto tende a 0.
  • Exemplos semelhantes:
    • \lim_{x\to 0} x\cdot \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=0 (porque |x\sin(1/x)|\le |x| e |x|\to 0).
    • \lim_{x\to 0} x^{3}\cdot \cos\!\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)=0 (mesma ideia).
  • Motivação: a oscilação do seno não impede o produto de ir a zero se o fator que multiplica a oscilação for pequeno o bastante (aqui x^{2}).

Resposta

\displaystyle 0

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