A expressão cuja limite deve ser calculado é x^{2}\cdot \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right).
O ponto para o qual x tende é 0.
Não há valor definido da função em x=0 no enunciado, apenas o limite quando x se aproxima de 0.
A pergunta é: qual é o valor do limite quando x aproxima-se de 0?
Passo 2
Entendendo o objetivo: o que significa \lim_{x\to 0} f(x)=L?
Significa que ao fazer x muito próximo de 0 (mas possivelmente diferente de 0), os valores de f(x) ficam arbitrariamente próximos de L.
Para mostrar que um limite vale L costuma-se usar desigualdades (se possível), o teorema do sanduíche (teorema da compressão) ou uma prova \varepsilon-\delta.
Vou explicar uma propriedade muito útil sobre a função \sin que será usada: para todo número real t vale
-1 \le \sin(t) \le 1.
Isto é, a função \sin é sempre limitada entre -1 e 1.
Passo 3
Aplicando a limitação da função seno ao nosso caso:
Substitua t=\dfrac{1}{x}. Para qualquer x\neq 0 existe t e ainda vale
-1 \le \sin\!\left(\frac{1}{x}\right) \le 1.
Multiplicando essa desigualdade por x^{2}, que é sempre não negativo, obtemos (para x\neq 0):
Basta garantir x^{2}<\varepsilon, isto é |x|<\sqrt{\varepsilon}. Assim basta escolher \delta=\sqrt{\varepsilon}. Então, sempre que 0<|x|<\delta teremos
Estratégia rápida: se aparecer uma expressão do tipo \text{(algo que tende a 0)}\times\text{(função limitada)}çã, então o produto tende a 0. Aqui \(x^{2} \to 0) e \sin(1/x) é limitada, logo o produto tende a 0.
Exemplos semelhantes:
\lim_{x\to 0} x\cdot \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=0 (porque |x\sin(1/x)|\le |x| e |x|\to 0).