QUESTÃO 01 : Avalie os limites.
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pedido: calcular
. - Informação dada: a expressão é uma função racional (quociente de polinômios) e a variável tende para
.
Passo 2
Avaliar diretamente o numerador e o denominador em
para ver se é um caso imediato ou uma forma indeterminada.
- Numerador em
:
- Denominador em
:
Conclusão parcial: a forma é
. Como o numerador tende para um número finito não nulo e o denominador tende para
, isso sugere que o quociente tende para infinito (com sinal que depende do sinal do denominador ao redor de
). Para determinar o sinal precisamos estudar o comportamento do denominador próximo de
.
Passo 3
Fatorar o denominador para entender seu sinal perto de
. Vamos dividir o polinômio por
(teste de raiz).
Considere o polinômio
Fazendo divisão sintética por
(coeficientes
):
- Trazer
. - Multiplicar por
: . Somar a dá . - Multiplicar por
: . Somar a dá . - Multiplicar por
: . Somar a dá (resto).
Logo a divisão é exata e o quociente é
. Portanto
Passo 4
Analisar o fator
e o fator
perto de
para ver o sinal do denominador.
- Para todo
vale . Em particular, é sempre positivo e em vale . - Portanto, para
próximo de o sinal do denominador é o mesmo que o sinal de , porque não muda o sinal.
Passo 5
Explicar a regra de limite utilizada: se o numerador tende para um número finito não nulo
e o denominador tende para
mantendo sinal positivo (resp. negativo) ao aproximar-se do ponto, então o quociente tende para
(resp.
).
Raciocínio rápido: dividir um número fixo positivo por um número muito pequeno positivo dá um valor muito grande positivo; dividir pelo mesmo pequeno número com sinal negativo dá valor muito grande em magnitude, mas negativo.
Aqui temos
.
Passo 6
Calcular os limites laterais usando o sinal do denominador:
- Para
: tem-se pequeno e , logo o denominador é positivo e muito pequeno; o numerador tende para . Assim
- Para
: tem-se pequeno (negativo) e , logo o denominador é negativo e muito pequeno; o numerador tende para . Assim
Passo 7
Conclusão final sobre o limite bilateral: como os limites laterais não coincidem (um é
e o outro é
), o limite bilateral
não existe (nem como número finito, e nem como um único infinito).