QUESTÃO 01 : Avalie os limites.
\lim _{x \rightarrow 4} \frac{x^{2}+x+5}{x^{3}-4 x^{2}+3 x-12}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pedido: calcular \displaystyle \lim_{x \rightarrow 4} \frac{x^{2}+x+5}{x^{3}-4 x^{2}+3 x-12}.
  • Informação dada: a expressão é uma função racional (quociente de polinômios) e a variável tende para 4.

Passo 2

Avaliar diretamente o numerador e o denominador em x=4 para ver se é um caso imediato ou uma forma indeterminada.
  • Numerador em x=4:
4^{2}+4+5 = 16+4+5 = 25.
  • Denominador em x=4:
4^{3}-4\cdot4^{2}+3\cdot4-12 = 64-64+12-12 = 0.
Conclusão parcial: a forma é \dfrac{25}{0}. Como o numerador tende para um número finito não nulo e o denominador tende para 0, isso sugere que o quociente tende para infinito (com sinal que depende do sinal do denominador ao redor de 4). Para determinar o sinal precisamos estudar o comportamento do denominador próximo de 4.

Passo 3

Fatorar o denominador para entender seu sinal perto de x=4. Vamos dividir o polinômio por (x-4) (teste de raiz).
Considere o polinômio
p(x)=x^{3}-4x^{2}+3x-12.
Fazendo divisão sintética por x=4 (coeficientes 1,\,-4,\,3,\,-12):
  • Trazer 1.
  • Multiplicar por 4: 1\cdot4=4. Somar a -4 0.
  • Multiplicar por 4: 0\cdot4=0. Somar a 3 3.
  • Multiplicar por 4: 3\cdot4=12. Somar a -12 0 (resto).
Logo a divisão é exata e o quociente é x^{2}+0x+3 = x^{2}+3. Portanto
x^{3}-4x^{2}+3x-12 = (x-4)(x^{2}+3).

Passo 4

Analisar o fator x^{2}+3 e o fator (x-4) perto de x=4 para ver o sinal do denominador.
  • Para todo x\in\mathbb{R} vale x^{2}+3 \ge 3>0. Em particular, x^{2}+3 é sempre positivo e em x=4 vale 4^{2}+3=19.
  • Portanto, para x próximo de 4 o sinal do denominador (x-4)(x^{2}+3) é o mesmo que o sinal de (x-4), porque x^{2}+3>0 não muda o sinal.

Passo 5

Explicar a regra de limite utilizada: se o numerador tende para um número finito não nulo N e o denominador tende para 0 mantendo sinal positivo (resp. negativo) ao aproximar-se do ponto, então o quociente tende para +\infty (resp. -\infty).
Raciocínio rápido: dividir um número fixo positivo por um número muito pequeno positivo dá um valor muito grande positivo; dividir pelo mesmo pequeno número com sinal negativo dá valor muito grande em magnitude, mas negativo.
Aqui temos N=25>0.

Passo 6

Calcular os limites laterais usando o sinal do denominador:
  • Para x\to4^{+}: tem-se x-4>0 pequeno e x^{2}+3>0, logo o denominador é positivo e muito pequeno; o numerador tende para 25>0. Assim
\lim_{x\to4^{+}} \frac{x^{2}+x+5}{x^{3}-4 x^{2}+3 x-12} = +\infty.
  • Para x\to4^{-}: tem-se x-4<0 pequeno (negativo) e x^{2}+3>0, logo o denominador é negativo e muito pequeno; o numerador tende para 25>0. Assim
\lim_{x\to4^{-}} \frac{x^{2}+x+5}{x^{3}-4 x^{2}+3 x-12} = -\infty.

Passo 7

Conclusão final sobre o limite bilateral: como os limites laterais não coincidem (um é +\infty e o outro é -\infty), o limite bilateral \displaystyle \lim_{x\to4} não existe (nem como número finito, e nem como um único infinito).

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to4^-} \frac{x^{2}+x+5}{x^{3}-4 x^{2}+3 x-12} = -\infty
\displaystyle \lim_{x\to4^+} \frac{x^{2}+x+5}{x^{3}-4 x^{2}+3 x-12} = +\infty
\displaystyle \lim_{x\to4} \frac{x^{2}+x+5}{x^{3}-4 x^{2}+3 x-12} = \text{não existe}ã

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