- Escreva as equações vetorial, paramétricas e simétricas para uma reta.
Passo 1
O enunciado pede que eu escreva as formas \— vetorial, paramétrica e simétrica \— de uma reta.
Para isso, vou trabalhar com os dados padrão que uma reta costuma precisar: um ponto por onde a reta passa e um vetor que indique a direção da reta. Vou anotar esses dados (esses são os dados que normalmente o enunciado fornece; aqui uso letras gerais porque o enunciado não deu números específicos):
Para isso, vou trabalhar com os dados padrão que uma reta costuma precisar: um ponto por onde a reta passa e um vetor que indique a direção da reta. Vou anotar esses dados (esses são os dados que normalmente o enunciado fornece; aqui uso letras gerais porque o enunciado não deu números específicos):
- Ponto inicial
com coordenadas . - Vetor de direção
com componentes .
O que se pede: apresentar a equação da reta em (i) forma vetorial, (ii) forma paramétrica (componentes em função de um parâmetro) e (iii) forma simétrica (eliminando o parâmetro).
Passo 2
Equação vetorial: ideia e construção.
- Definição prática: a reta é o conjunto de pontos que se obtém ao sair de
e andar na direção do vetor por um comprimento proporcional a um parâmetro . - Notação: escrevo
para o vetor posição de um ponto genérico na reta, e para o vetor posição do ponto .
A equação vetorial então é, exatamente,
Explicando cada símbolo:
-
é o vetor posição de um ponto qualquer da reta; -
é o vetor posição do ponto conhecido ; -
é o vetor de direção; -
é o parâmetro real que indica quanto avançou ao longo da direção .
Passo 3
Passagem para as equações paramétricas (componentes).
A igualdade vetorial implica igualdade componente a componente. Assim, da equação vetorial obtemos as equações paramétricas:
A igualdade vetorial implica igualdade componente a componente. Assim, da equação vetorial obtemos as equações paramétricas:
Interpretação prática: para cada valor de
obtem-se um ponto
na reta. Se
obtemos o ponto
. Se
obtemos
.
Passo 4
Derivando a forma simétrica.
- Se
, e são todos diferentes de zero, isolamos em cada equação paramétrica e igualamos:
Por convenção escreve-se a forma simétrica como
- Observação importante (casos com componentes nulas): se uma das componentes do vetor direção for zero, não se pode dividir por ela. Exemplos:
- Se
então a equação paramétrica dá (ou seja, a coordenada é constante) e a forma simétrica usa apenas as outras duas frações:
- Se duas componentes são zero, por exemplo
e , então a reta é paralela ao eixo e temos
- Se
o vetor direção é nulo e não define uma reta (caso inválido).
- Se
Passo 5
Exemplo concreto (para ver na prática). Vou pegar um ponto e um vetor direção e transformar entre as formas (isto ajuda a gravar a ideia).
- Escolho
e .
Equação vetorial:
Equações paramétricas:
Forma simétrica (todos os componentes de
são não nulos):
Se precisar voltar da forma simétrica para a paramétrica: escolha
igual a essa fração comum e recupere as equações paramétricas.
Passo 6
Como usar isso rápido numa prova (dicas práticas & motivação).
- Sempre escreva qual é o ponto
e qual é o vetor direção antes de montar as equações. - Use a forma vetorial quando quiser trabalhar com vetores e deslocamentos; use a paramétrica quando precisar coordenadas em função de um parâmetro (útil para interseções e substituições); use a simétrica para apresentar a relação direta entre coordenadas (quando possível).
- Trate com cuidado componentes zero: não divida por zero; em vez disso escreva a coordenada constante correspondente.
- Respira fundo: decorar a forma vetorial
e saber obter as paramétricas por componentes resolve a maior parte dos problemas com retas.