1. Escreva as equações vetorial, paramétricas e simétricas para uma reta.

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva as formas \— vetorial, paramétrica e simétrica \— de uma reta.
Para isso, vou trabalhar com os dados padrão que uma reta costuma precisar: um ponto por onde a reta passa e um vetor que indique a direção da reta. Vou anotar esses dados (esses são os dados que normalmente o enunciado fornece; aqui uso letras gerais porque o enunciado não deu números específicos):
  • Ponto inicial P_0 com coordenadas (x_0,y_0,z_0).
  • Vetor de direção \mathbf{v} com componentes (a,b,c).
    O que se pede: apresentar a equação da reta em (i) forma vetorial, (ii) forma paramétrica (componentes em função de um parâmetro) e (iii) forma simétrica (eliminando o parâmetro).

Passo 2

Equação vetorial: ideia e construção.
  • Definição prática: a reta é o conjunto de pontos que se obtém ao sair de P_0 e andar na direção do vetor \mathbf{v} por um comprimento proporcional a um parâmetro t.
  • Notação: escrevo \mathbf{r} para o vetor posição de um ponto genérico P(x,y,z) na reta, e \mathbf{r_0} para o vetor posição do ponto P_0(x_0,y_0,z_0).
    A equação vetorial então é, exatamente,
\mathbf{r}=\mathbf{r_0}+t\,\mathbf{v},\qquad t\in\mathbb{R}.
Explicando cada símbolo:
  • \mathbf{r}=(x,y,z) é o vetor posição de um ponto qualquer da reta;
  • \mathbf{r_0}=(x_0,y_0,z_0) é o vetor posição do ponto conhecido P_0;
  • \mathbf{v}=(a,b,c) é o vetor de direção;
  • t é o parâmetro real que indica quanto avançou ao longo da direção \mathbf{v}.

Passo 3

Passagem para as equações paramétricas (componentes).
A igualdade vetorial implica igualdade componente a componente. Assim, da equação vetorial obtemos as equações paramétricas:
x=x_0+a\,t, \qquad y=y_0+b\,t, \qquad z=z_0+c\,t, \qquad t\in\mathbb{R}.
Interpretação prática: para cada valor de t obtem-se um ponto (x,y,z) na reta. Se t=0 obtemos o ponto P_0. Se t=1 obtemos P_0+\mathbf{v}.

Passo 4

Derivando a forma simétrica.
  • Se a, b e c são todos diferentes de zero, isolamos t em cada equação paramétrica e igualamos:
t=\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}.
Por convenção escreve-se a forma simétrica como
\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}.
  • Observação importante (casos com componentes nulas): se uma das componentes do vetor direção for zero, não se pode dividir por ela. Exemplos:
    • Se a=0 então a equação paramétrica dá x=x_0 (ou seja, a coordenada x é constante) e a forma simétrica usa apenas as outras duas frações:
    x=x_0,\qquad \frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\quad(\text{se }b\neq0,\\ c\neq0).
    • Se duas componentes são zero, por exemplo a=0 e b=0, então a reta é paralela ao eixo z e temos
    x=x_0,\qquad y=y_0,\qquad z=z_0+c\,t.
    • Se a=b=c=0 o vetor direção é nulo e não define uma reta (caso inválido).

Passo 5

Exemplo concreto (para ver na prática). Vou pegar um ponto e um vetor direção e transformar entre as formas (isto ajuda a gravar a ideia).
  • Escolho P_0(1,2,3) e \mathbf{v}=(2,-1,4).
    Equação vetorial:
\mathbf{r}=(1,2,3)+t(2,-1,4).
Equações paramétricas:
x=1+2t,\qquad y=2-t,\qquad z=3+4t.
Forma simétrica (todos os componentes de \mathbf{v} são não nulos):
\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}{4}.
Se precisar voltar da forma simétrica para a paramétrica: escolha t igual a essa fração comum e recupere as equações paramétricas.

Passo 6

Como usar isso rápido numa prova (dicas práticas & motivação).
  • Sempre escreva qual é o ponto P_0 e qual é o vetor direção \mathbf{v} antes de montar as equações.
  • Use a forma vetorial quando quiser trabalhar com vetores e deslocamentos; use a paramétrica quando precisar coordenadas em função de um parâmetro (útil para interseções e substituições); use a simétrica para apresentar a relação direta entre coordenadas (quando possível).
  • Trate com cuidado componentes zero: não divida por zero; em vez disso escreva a coordenada constante correspondente.
  • Respira fundo: decorar a forma vetorial \mathbf{r}=\mathbf{r_0}+t\mathbf{v} e saber obter as paramétricas por componentes resolve a maior parte dos problemas com retas.

Resposta

\mathbf{r}=\mathbf{r_0}+t\,\mathbf{v},\qquad t\in\mathbb{R},
x=x_0+a\,t,\qquad y=y_0+b\,t,\qquad z=z_0+c\,t,\qquad t\in\mathbb{R},
\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\qquad(\text{quando }a\neq0,\\ b\neq0,\\ c\neq0).

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