Resolva pelo método de separação de variáveis:
\left\{\begin{array}{l}u_{t}=u_{x x} \\\ u(0, t)=0, \quad u(L, t)=0 \\\ u(x, 0)=x\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação do calor unidimensional
u_{t}=u_{xx}
em 0<x<L, com condições de contorno homogêneas
u(0,t)=0,\quad u(L,t)=0
e condição inicial
u(x,0)=x.
O método é separação de variáveis aliado à expansão em série de senos (série de Fourier).

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo
u(x,t)=X(x)\,T(t).
Substituindo em u_{t}=u_{xx} e dividindo por X\,T obtemos
\frac{T'}{T}=\frac{X''}{X}=-\lambda.
As condições X(0)=X(L)=0 levam aos autovalores
\lambda_{n}=\Bigl(\frac{n\pi}{L}\Bigr)^{2},\quad n=1,2,3,\dots
e autofunções
X_{n}(x)=\sin\!\bigl(n\pi x/L\bigr), \qquad T_{n}(t)=e^{-(n\pi/L)^{2}t}.

Passo 3

Pela linearidade, a solução geral satisfaz
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\,\sin\!\bigl(n\pi x/L\bigr)\, e^{-(n\pi/L)^{2}t}.
Os coeficientes A_{n} são fixados pela condição inicial u(x,0)=x:
x=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\,\sin\!\bigl(n\pi x/L\bigr).

Passo 4

A ortogonalidade dos senos dá
A_{n} =\frac{2}{L}\int_{0}^{L}x\, \sin\!\bigl(n\pi x/L\bigr)\,dx.

Passo 5

Para calcular
\displaystyle\int_{0}^{L}x\sin(n\pi x/L)\,dx
fazemos a=n\pi/L e integram por partes:
\int_{0}^{L}x\sin(ax)\,dx =\Bigl[-\frac{x\cos(ax)}{a}\Bigr]_{0}^{L} +\int_{0}^{L}\frac{\cos(ax)}{a}\,dx =-\frac{L\cos(n\pi)}{a} +\frac{\sin(n\pi)}{a^{2}} =\frac{L(-1)^{n+1}}{a}.
Como a=n\pi/L, obtemos
\int_{0}^{L}x\sin(n\pi x/L)\,dx =\frac{L^{2}(-1)^{n+1}}{n\pi}.
Logo
A_{n} =\frac{2}{L}\cdot\frac{L^{2}(-1)^{n+1}}{n\pi} =\frac{2L(-1)^{n+1}}{n\pi}.

Passo 6

Substituindo em u(x,t), a solução final é
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2L(-1)^{n+1}}{n\pi} \sin\!\bigl(n\pi x/L\bigr)\, e^{-(n\pi/L)^{2}t}.

Resposta

u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2L\,(-1)^{n+1}}{n\pi} \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr) e^{-(n\pi/L)^{2}t}.

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