Resolva pelo método de separação de variáveis:
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação do calor unidimensional
em
, com condições de contorno homogêneas
e condição inicial
O método é separação de variáveis aliado à expansão em série de senos (série de Fourier).
Passo 2
Assumimos uma solução do tipo
Substituindo em
e dividindo por
obtemos
As condições
levam aos autovalores
e autofunções
Passo 3
Pela linearidade, a solução geral satisfaz
Os coeficientes
são fixados pela condição inicial
:
Passo 4
A ortogonalidade dos senos dá
Passo 5
Para calcular
fazemos e integram por partes:
fazemos
Como
, obtemos
Logo
Passo 6
Substituindo em
, a solução final é