Resolva pelo método de separação de variáveis: \left\{\begin{array}{l}u_{t}=u_{x x} \\\ u(0, t)=0, \quad u(L, t)=0 \\\ u(x, 0)=3 \operatorname{sen} \frac{\pi x}{L}+2 \operatorname{sen} \frac{3 \pi x}{L}\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação do calor \displaystyle u_{t}=u_{xx}
em 0<x<L com condições de contorno homogêneas \;u(0,t)=0,\;u(L,t)=0
e condição inicial \displaystyle u(x,0)=3\sin\!\bigl(\tfrac{\pi x}{L}\bigr)+2\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi x}{L}\bigr).
Vamos usar o método de separação de variáveis e explorar o fato de que as funções \sin(n\pi x/L) são autovetores da segunda derivada com Dirichlet.
Passo 2
Procuramos solução na forma u(x,t)=X(x)\,T(t). Substituindo em u_{t}=u_{xx} e dividindo por X(x)T(t) obtemos
\frac{T'(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,
onde \lambda é a constante de separação. Assim surgem dois ODEs: \;T'+\lambda T=0
e \;X''+\lambda X=0.
Passo 3
As condições X(0)=0 e X(L)=0 impõem autovalores \lambda_{n}=\bigl(n\pi/L\bigr)^{2}, n=1,2,\dots,
com autovetores \displaystyle X_{n}(x)=\sin\!\bigl(n\pi x/L\bigr).
Para cada n, a parte temporal é \displaystyle T_{n}(t)=e^{-\lambda_{n}t}=e^{-(n\pi/L)^{2}t}.
Passo 4
Logo, a solução geral que satisfaz as condições de contorno é a série
Para ajustar à condição inicial u(x,0)=f(x) usamos \displaystyle f(x)=3\sin\!\bigl(\tfrac{\pi x}{L}\bigr)+2\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi x}{L}\bigr).
Comparando com a série em t=0 vemos que