Resolva pelo método de separação de variáveis:
\left\{\begin{array}{l}u_{t}=u_{x x} \\\ u(0, t)=0, \quad u(L, t)=0 \\\ u(x, 0)=3 \operatorname{sen} \frac{\pi x}{L}+2 \operatorname{sen} \frac{3 \pi x}{L}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação do calor
\displaystyle u_{t}=u_{xx}
em 0<x<L com condições de contorno homogêneas
\;u(0,t)=0,\;u(L,t)=0
e condição inicial
\displaystyle u(x,0)=3\sin\!\bigl(\tfrac{\pi x}{L}\bigr)+2\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi x}{L}\bigr).
Vamos usar o método de separação de variáveis e explorar o fato de que as funções \sin(n\pi x/L) são autovetores da segunda derivada com Dirichlet.

Passo 2

Procuramos solução na forma u(x,t)=X(x)\,T(t). Substituindo em u_{t}=u_{xx} e dividindo por X(x)T(t) obtemos
\frac{T'(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,
onde \lambda é a constante de separação. Assim surgem dois ODEs:
\;T'+\lambda T=0
e
\;X''+\lambda X=0.

Passo 3

As condições X(0)=0 e X(L)=0 impõem autovalores
\lambda_{n}=\bigl(n\pi/L\bigr)^{2}, n=1,2,\dots,
com autovetores
\displaystyle X_{n}(x)=\sin\!\bigl(n\pi x/L\bigr).
Para cada n, a parte temporal é
\displaystyle T_{n}(t)=e^{-\lambda_{n}t}=e^{-(n\pi/L)^{2}t}.

Passo 4

Logo, a solução geral que satisfaz as condições de contorno é a série
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\,\sin\!\bigl(n\pi x/L\bigr)\,e^{-(n\pi/L)^{2}t}.

Passo 5

Para ajustar à condição inicial u(x,0)=f(x) usamos
\displaystyle f(x)=3\sin\!\bigl(\tfrac{\pi x}{L}\bigr)+2\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi x}{L}\bigr).
Comparando com a série em t=0 vemos que
A_{1}=3,\quad A_{3}=2,\quad A_{n}=0\\ (n\neq1,3).

Resposta

u(x,t) =3\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi x}{L}\bigr)\,e^{-(\pi/L)^{2}t} \;+\;2\,\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi x}{L}\bigr)\,e^{-(3\pi/L)^{2}t}.

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