Determinar o ângulo entre as retas:
r1:lx=1+3 t y=2-4 t z=3-t e r2: x2=y+61=z-11

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre duas retas em R^3. O conteúdo envolve vetores diretores e a fórmula do produto escalar para ângulo entre vetores.

Passo 2

Obtemos os vetores diretores das retas. Da forma paramétrica
r1:;x=1+3t,;y=2-4t,;z=3-t
vemos que
v1 = (3,,-4,,-1)
Para a forma simétrica
r2:;x2=y+61=z-11=s
temos
x=2s,;y=s-6,;z=s+1,
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v2 = (2,,1,,1)

Passo 3

O ângulo theta entre as retas é o mesmo entre v1 e v2, dado por
costheta = l|v1cdot v2r||v1|;|v2|

Passo 4

Calculamos o produto escalar e as normas:
v1cdot v2 = 3cdot2 + (-4)cdot1 + (-1)cdot1 = 6 -4 -1 = 1,
|v1| = raiz3^2+(-4)^2+(-1)^2 = raiz9+16+1 = raiz26,
|v2| = raiz2^2+1^2+1^2 = raiz6
Portanto
costheta = 1raiz26,raiz6 = 1raiz156 = 12raiz39

Passo 5

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theta = arccos!l(tfrac12raiz39r)approx 85,4^circ

Resposta

theta = arccos!l(12raiz39r)approx 85,4^circ

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