Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, determinar o ponto de intersecção:
r1:ly=2 x-3 z=-x+10 ; r2: x=y-43=z+1-2;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as retas r1 e r2 em R^3 são concorrentes (isto é, se existe um ponto comum) e, em caso afirmativo, determinar esse ponto. Para isso, vamos usar a representação paramétrica de cada reta e resolver o sistema de igualdade das coordenadas.

Passo 2

Representação paramétrica de r1:
y = 2x - 3
z = -x + 10
Tomando x = t como parâmetro, obtemos
x(t) = t,
y(t) = 2t - 3,
z(t) = -t + 10

Passo 3

Representação paramétrica de r2:
x = y - 43
x = z + 1-2
Definindo x = s, segue
x(s) = s,
y(s) = 3s + 4,
z(s) = -2s - 1

Passo 4

Para que haja intersecção, devem existir t e s tais que
x(t) = x(s),
y(t) = y(s),
z(t) = z(s)
Das duas primeiras igualdades vem
t = s
e
2t - 3 = 3s + 4
Substituindo s = t na segunda:
2t - 3 = 3t + 4
2t - 3 - 3t - 4 = 0
-t - 7 = 0
t = -7

Passo 5

Verificamos a coordenada z em t = -7:
Para r1:
z(t) = -t + 10 = -(-7) + 10 = 17
Para r2:
z(s) = -2s - 1 = -2(-7) - 1 = 13
Como 17 neq 13, não há valor comum de z e, portanto, não existe ponto que satisfaça simultaneamente as três coordenadas.

Resposta

As retas não são concorrentes, logo não há ponto de intersecção.

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