Seja T: R^3 R^3 um operador linear dado por
T(x, y, z)=(2 x+4 z, 3 x-4 y+12 z, x-2 y+5 z)
Encontre os autovetores de T.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear
TcolonR^3toR^3, T(x,y,z)=(2x+4z,;3x-4y+12z,;x-2y+5z)
e pede todos os autovetores de T. Para isso vamos:
  1. Representar T pela matriz A na base canônica.
  2. Calcular o polinômio característico det(A-lambda I)=0 para achar os autovalores lambda.
  3. Para cada lambda resolver (A-lambda I)v=0 e obter o espaço próprio (autovetores).

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
A = 2 & 0 & 4 3 & -4 & 12 1 & -2 & 5
O polinômio característico vem de
det(A-lambda I) = 2-lambda & 0 & 4 3 & -4-lambda & 12 1 & -2 & 5-lambda
Fazendo a expansão, obtemos
det(A-lambda I) = -lambda(lambda-1)(lambda-2)

Passo 3

Da fatoração
-lambda(lambda-1)(lambda-2)=0
seguem os autovalores
lambda1=0, lambda2=1 e lambda3=2, todos distintos.

Passo 4

Para
Da primeira equação , e a terceira é redundante. Logo
O espaço próprio é .

Passo 5

Para
Da primeira e a terceira confirma isso. Assim
e o espaço próprio é .

Passo 6

Para
Da primeira . Logo
e o espaço próprio é .

Resposta

Os autovalores e vetores são:
lambda=0 com autovetores alpha(-4,3,2),
lambda=1 com autovetores beta(-4,0,1),
lambda=2 com autovetores gamma(2,1,0),
onde alpha,beta,gammainRsetminus0.

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