Seja T: R^3 R^3 um operador linear dado por
T(x, y, z)=(2 x+4 z, 3 x-4 y+12 z, x-2 y+5 z)
Determine uma matriz inversível M e uma matriz diagonal D de modo que
D=M^-1 cdot(T) cdot M
onde (T) é a matriz de T em relação a base canônica de R^3.

Passo 1

O enunciado pede a diagonalização do operador linear
T(x,y,z) = (2x+4z,;3x-4y+12z,;x-2y+5z)
em relação à base canônica de R^3.
Isto é, queremos encontrar uma matriz inversível M cujas colunas sejam autovetores de T e uma matriz diagonal D cujos elementos diagonais sejam os autovalores correspondentes, de modo que
D = M^-1,(T),M
Para isso, vamos (1) escrever a matriz de T, (2) calcular os autovalores pela equação característica, (3) encontrar autovetores e (4) montar M e D.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
A = (T) = 2 & 0 & 4 3 & -4 & 12 1 & -2 & 5
Calculemos o polinômio característico det(A-lambda I)=0:
det 2-lambda & 0 & 4 3 & -4-lambda & 12 1 & -2 & 5-lambda = -lambda(lambda-1)(lambda-2)
Logo, os autovalores são
lambda1=0, lambda2=1, lambda3=2

Passo 3

Para
Da primeira equação e a terceira cai em identidade. Tomando temos um autovetor

Passo 4

Para
Da primeira , e a terceira é redundante. Tomando obtemos
Para resolvemos , i.e.
Da primeira , e a terceira confirma isso. Tomando temos

Passo 5

Montamos M com os autovetores nas colunas e D com os autovalores na diagonal, na mesma ordem:
M = -4 & -4 & 2 3 & 0 & 1 2 & 1 & 0 , D = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2

Resposta

M = -4 & -4 & 2 3 & 0 & 1 2 & 1 & 0 , D = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 ,
de modo que D = M^-1 (T) M.

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