Determinar o ângulo entre as retas
r:\left\{\begin{array}{l} x=-2+2 \lambda \\\ y=2 \lambda \\\ z=3-4 \lambda \end{array}, \lambda \in \mathbb{R} \quad \text { e } \quad s: \frac{x}{4}=\frac{y+6}{2}=\frac{z-1}{2}\right.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o ângulo entre as retas r e s. O conteúdo envolve produto escalar de vetores diretores no espaço e vamos precisar extrair esses vetores a partir das equações dadas.

Passo 2

Para a reta r em forma paramétrica temos:
x=-2+2\lambda,\quad y=2\lambda,\quad z=3-4\lambda
Isso indica que o vetor diretor de r é \mathbf v_r=(2,2,-4).
Para a reta s em forma simétrica:
\frac{x}{4}=\frac{y+6}{2}=\frac{z-1}{2}=\mu
podemos usar a parametrização
x=4\mu,\quad y=2\mu-6,\quad z=2\mu+1
logo o vetor diretor de s é \mathbf v_s=(4,2,2).

Passo 3

O ângulo \theta entre duas retas é o mesmo ângulo entre seus vetores diretores, dado por
\cos\theta = \frac{\bigl|\mathbf v_r\cdot \mathbf v_s\bigr|}{\|\mathbf v_r\|\;\|\mathbf v_s\|}.
Calculamos primeiro o produto escalar:
\mathbf v_r\cdot \mathbf v_s = (2,2,-4)\cdot(4,2,2) = 8 + 4 - 8 = 4.
Em seguida, os módulos:
\|\mathbf v_r\| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt6,
\|\mathbf v_s\| = \sqrt{4^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt6.

Passo 4

Substituindo na fórmula do cosseno:
\cos\theta = \frac{4}{2\sqrt6\;\cdot\;2\sqrt6} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}.
Como queremos o ângulo agudo, temos
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr).

Resposta

\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr) (aproximadamente 80{,}4^\circ).

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