Sendo \vec{u} \neq \vec{t} e \vec{v} \neq \vec{w}, mostre que se \vec{u} \wedge \vec{v}=\vec{w} \wedge \vec{t} e \vec{u} \wedge \vec{w}=\vec{v} \wedge \vec{t} então \vec{u}-\vec{t} e \vec{v}-\vec{w} são paralelos.

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores \vec u,\vec v,\vec w,\vec t em \mathbb{R}^3 (já que se usa produto vetorial) e duas igualdades:
\vec u\wedge\vec v = \vec w\wedge\vec t \quad\text{e}\quad \vec u\wedge\vec w = \vec v\wedge\vec t.
Queremos mostrar que \vec u - \vec t e \vec v - \vec w são paralelos. Para vetores em \mathbb{R}^3, “ser paralelos” equivale a ter produto vetorial nulo.

Passo 2

Formulemos a condição de paralelismo:
(\vec u - \vec t)\wedge(\vec v - \vec w)=\vec0.
Se conseguirmos provar que esse produto vetorial é o vetor zero, teremos mostrado que \vec u-\vec t e \vec v-\vec w são paralelos.

Passo 3

Use a bilinearidade do produto vetorial para expandir:
(\vec u - \vec t)\wedge(\vec v - \vec w) = \vec u\wedge\vec v \;-\;\vec u\wedge\vec w\;-\;\vec t\wedge\vec v\;+\;\vec t\wedge\vec w.

Passo 4

Substitua as igualdades dadas: \vec u\wedge\vec v = \vec w\wedge\vec t e \vec u\wedge\vec w = \vec v\wedge\vec t. Assim,
\vec u\wedge\vec v = \vec w\wedge\vec t, \quad \vec u\wedge\vec w = \vec v\wedge\vec t.
Portanto
\vec u\wedge\vec v - \vec u\wedge\vec w = \vec w\wedge\vec t - \vec v\wedge\vec t.
No total:
(\vec u - \vec t)\wedge(\vec v - \vec w) = (\vec w\wedge\vec t - \vec v\wedge\vec t) - \vec t\wedge\vec v + \vec t\wedge\vec w.

Passo 5

Use a anticomutatividade do produto vetorial: \vec t\wedge\vec v = -\,\vec v\wedge\vec t e \vec t\wedge\vec w = -\,\vec w\wedge\vec t. Então
(\vec w\wedge\vec t - \vec v\wedge\vec t) - \vec t\wedge\vec v + \vec t\wedge\vec w = \vec w\wedge\vec t - \vec v\wedge\vec t + \vec v\wedge\vec t - \vec w\wedge\vec t = \vec0.

Passo 6

Concluímos que
(\vec u - \vec t)\wedge(\vec v - \vec w) = \vec0,
logo \vec u - \vec t e \vec v - \vec w são paralelos, como queríamos.

Resposta

\vec u - \vec t e \vec v - \vec w são paralelos.

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