Determinar as equações da reta na forma simétrica nos seguintes casos:
que passa pelos pontos A=(2,2,2) e B=(1,-1,3).
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta em forma simétrica que passa pelos pontos A=(2,2,2) e B=(1,-1,3). O conteúdo é equação de reta no espaço: vamos precisar do vetor diretor e de um ponto qualquer da reta para montar primeiro a forma vetorial ou paramétrica e depois converter para a forma simétrica.
Passo 2
O vetor diretor \vec d pode ser obtido subtraindo as coordenadas de A de B:
\vec d \;=\;\overrightarrow{AB} \;=\;B - A \;=\;(1-2,\,-1-2,\,3-2) \;=\;(-1,\,-3,\,1).
Passo 3
Usamos a equação vetorial da reta:
\vec r \;=\;\vec r_{0}+t\,\vec d,
onde \vec r_{0}=(2,2,2) é a posição de A. Em coordenadas paramétricas:
x=2 - t,\quad y=2 - 3t,\quad z=2 + t.
Passo 4
Isolando o parâmetro t em cada uma:
t=2-x,\quad t=\frac{2-y}{3},\quad t=z-2.
Igualando essas expressões, obtemos a forma simétrica: