Mostre que o produto vetorial de dois vetores gerados por \vec{u} e \vec{v} é paralelo a \vec{u} \wedge \vec{v}.
Sugestão: Prove que \vec{r} \wedge \vec{s}=\lambda(\vec{u} \wedge \vec{v}), \operatorname{com} \lambda \in \mathbb{R}, onde \vec{r}=\alpha \vec{u}+\beta \vec{v}, \vec{s}=\gamma \vec{u}+\delta \vec{v}, \alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores \vec{u} e \vec{v} em \mathbb{R}^3 e dois vetores gerados por eles \vec{r} = \alpha \,\vec{u} + \beta \,\vec{v} e \vec{s} = \gamma \,\vec{u} + \delta \,\vec{v}, com \alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}.
Queremos mostrar que
\vec{r}\wedge\vec{s}=\lambda\bigl(\vec{u}\wedge\vec{v}\bigr)\,,
ou seja, que \vec{r}\wedge\vec{s} é paralelo a \vec{u}\wedge\vec{v}.
Para isso vamos usar as propriedades de bilinearidade e anticomutatividade do produto vetorial.

Passo 2

Usamos a bilinearidade do produto vetorial para expandir
\vec{r}\wedge\vec{s} =(\alpha \,\vec{u} + \beta \,\vec{v})\wedge(\gamma \,\vec{u} + \delta \,\vec{v})
e obtemos
\vec{r}\wedge\vec{s} =\alpha\gamma\;(\vec{u}\wedge\vec{u}) +\alpha\delta\;(\vec{u}\wedge\vec{v}) +\beta\gamma\;(\vec{v}\wedge\vec{u}) +\beta\delta\;(\vec{v}\wedge\vec{v})\;.

Passo 3

Aplicamos agora as identidades \vec{u}\wedge\vec{u}=\vec{0}, \vec{v}\wedge\vec{v}=\vec{0} e \vec{v}\wedge\vec{u}= -\,(\vec{u}\wedge\vec{v}).
Assim a expansão vira
\vec{r}\wedge\vec{s} = \alpha\delta\;(\vec{u}\wedge\vec{v}) + \beta\gamma\;(-\,\vec{u}\wedge\vec{v}) = \bigl(\alpha\delta - \beta\gamma\bigr)\,(\vec{u}\wedge\vec{v})\;.

Passo 4

Definindo \lambda = \alpha\delta - \beta\gamma\in\mathbb{R}, temos finalmente
\vec{r}\wedge\vec{s} = \lambda\,(\vec{u}\wedge\vec{v})\;,
o que mostra que \vec{r}\wedge\vec{s} é paralelo a \vec{u}\wedge\vec{v}.

Resposta

\displaystyle \vec{r}\wedge\vec{s}=(\alpha\delta-\beta\gamma)\,(\vec{u}\wedge\vec{v}), logo o produto vetorial de \vec{r} e \vec{s} é paralelo a \vec{u}\wedge\vec{v}.

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