Determinar a equação vetorial e as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A=(2,1,2) e tem a direção do vetor \vec{v}=(1,2,3).

Passo 1

O enunciado pede a reta que passa por A=(2,1,2) e tem direção dada pelo vetor \vec v=(1,2,3). Para uma reta em \mathbb{R}^3 usamos a forma vetorial
\vec r(t)=\vec r_0+t\,\vec v
e extraímos as equações paramétricas correspondentes.

Passo 2

Aplicando a fórmula, o ponto inicial é \vec r_0=(2,1,2) e o vetor direção é \vec v=(1,2,3). Logo a equação vetorial da reta é
\vec r(t) = (2,1,2) + t\,(1,2,3),\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Para obter as equações paramétricas, escrevemos componente a componente:
\begin{cases} x(t) = 2 + 1\cdot t = 2 + t,\\\ y(t) = 1 + 2\cdot t = 1 + 2t,\\\ z(t) = 2 + 3\cdot t = 2 + 3t. \end{cases}

Resposta

A equação vetorial é
\vec r(t) = (2,1,2) + t\,(1,2,3),\quad t\in\mathbb{R},
e as equações paramétricas são
\begin{cases} x = 2 + t,\\\ y = 1 + 2t,\\\ z = 2 + 3t,\quad t\in\mathbb{R}. \end{cases}

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