Determinar o angulo entre as retas r1 e r2 a seguir:
r1:cx=-2-t y=t e r2: x2=y+6=z-1 z=3-2 t

Passo 1

Beleza! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o ângulo entre duas retas, chamadas r1 e r2 . Para isso, vamos usar um pouco de geometria vetorial. Primeiro, vamos identificar os vetores de direção de cada reta e depois calcular o ângulo entre eles usando o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores de direção das retas [r_1) e .
Para a reta :
Podemos reescrever isso como:
Aqui, os coeficientes de , , ) formam o vetor de direção da reta .
Para a reta :
Isso é uma forma simétrica de representar a reta. Vamos usar um parâmetro para reescrever em forma paramétrica:
Então, o vetor de direção da reta (r_2] é:

Passo 3

Agora que temos os vetores de direção v1 = (-1, 1, -2) e v2 = (2, 1, 1) , vamos usar o produto escalar para encontrar o ângulo entre eles.
A fórmula do produto escalar é:
v1 cdot v2 = |v1| cdot |v2| cdot cos(theta)
Onde:
  • v1 cdot v2 é o produto escalar dos vetores.
  • |v1| e |v2| são as magnitudes (comprimentos) dos vetores.
  • theta é o ângulo entre as retas.
Vamos calcular cada parte.

Passo 4

Primeiro, calculamos o produto escalar v1 cdot v2 :
v1 cdot v2 = (-1)(2) + (1)(1) + (-2)(1) = -2 + 1 - 2 = -3

Passo 5

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores.
Para v1 = (-1, 1, -2) :
|v1| = raiz(-1)^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6
Para v2 = (2, 1, 1) :
|v2| = raiz2^2 + 1^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula do produto escalar:
-3 = raiz6 cdot raiz6 cdot cos(theta)
Simplificando:
-3 = 6 cdot cos(theta)
cos(theta) = -36 = -0,5

Passo 7

Para achar o ângulo theta , tiramos o arco cosseno:
theta = cos^-1(-0,5)
Sabemos que cos^-1(-0,5) = 120^circ .

Resposta

O ângulo entre as retas r1 e r2 é de 120^circ .

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