Determine T: V longrightarrow W conhecendo os valores de T na base de V.
T: P1(R) longrightarrow R^2, tal que T(2 t)=(1,1) e T(-1)=(0,3).

Passo 1

O enunciado define um operador linear
Tcolon P1(R) to R^2
e informa suas imagens em dois polinômios que formam uma base de P1(R), a saber 2t,,-1. Nosso objetivo é achar a fórmula geral de Tl(at + br).

Passo 2

Verificamos que 2t,,-1 é uma base porque são dois vetores não proporcionais em um espaço de dimensão 2. Logo todo polinômio p(t)=at+b pode ser escrito de forma única como combinação linear
p(t)=alpha,(2t)+beta,(-1)

Passo 3

Para encontrar alpha e beta igualamos
alpha,(2t)+beta,(-1)=2alpha,t-beta =a,t + b
Comparando coeficientes de t e termo constante obtemos
2alpha = a e -beta = b
portanto
alpha = a2, beta = -,b

Passo 4

Usando linearidade de T,
T(p)=Tl(alpha,(2t)+beta,(-1)r) =alpha,T(2t)+beta,T(-1)
Substituindo alpha=tfraca2, beta=-b e os valores dados T(2t)=(1,1), T(-1)=(0,3), vem
T(at+b) =a2,(1,1) + (-b),(0,3) =l(a2,a2r)+l(0,-3br) =l(tfraca2,,tfraca2-3br)

Resposta

Tl(at+br)=l(tfraca2,,tfraca2-3br)

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