Determine T: V longrightarrow W conhecendo os valores de T na base de V.
T: R^2 longrightarrow R^2, tal que T(2,1)=(1,0) e T(0,1)= (1,-1).

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear Tcolon R^2to R^2 cujo valor sobre a base formada pelos vetores (2,1) e (0,1) é conhecido:
T(2,1)=(1,0), T(0,1)=(1,-1)
Para determinar T em um vetor genérico (x,y), vamos expressá-lo como combinação linear dessa base e depois usar a linearidade de T.

Passo 2

Confirmamos que (2,1) e (0,1) formam uma base de R^2 porque a matriz
2 & 0 1 & 1
tem determinante 2neq0, mostrando independência linear e gerando todo R^2.

Passo 3

Para (x,y)inR^2, procuramos a,b tais que
(x,y) = a,(2,1) + b,(0,1) = (2a,;a+b)
Igualando componentes,
2a = x implies a = x2, a + b = y implies b = y - x2

Passo 4

Pela linearidade,
T(x,y) = a,T(2,1) + b,T(0,1) = a,(1,0) + b,(1,-1) = (a+b,,-b)
Substituindo a=tfracx2 e b=y-tfracx2:
a+b = y, -b = x2-y
Logo
T(x,y) = l(y,;x2-yr)

Resposta

A transformação TcolonR^2toR^2 é
T(x,y)=l(y,;tfracx2-yr),
cuja matriz na base canônica é
0 & 1 12 & -1

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