Mostre que os vetores
u=[ll 1 & 0 1 & 0 ], v=[ll 1 & 0 0 & 1 ] e w=[ll 2 & 2 2 & 2 ]
são linearmente independentes (LI) em M(2,2).

Passo 1

O enunciado nos dá três matrizes em M(2,2):
u=1&01&0, v=1&00&1, w=2&22&2,
e pede para mostrar que são linearmente independentes. Vamos usar a definição: são LI se a única solução de
alpha,u+beta,v+gamma,w=0
é alpha=beta=gamma=0.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear em cada entrada, temos
alpha,u+beta,v+gamma,w = alpha+beta+2gamma & 0+0+2gamma[6pt] alpha+0+2gamma & 0+beta+2gamma ]

Passo 3

Para que essa matriz seja a matriz zero, as quatro entradas devem ser zero. Assim obtemos o sistema
alpha+beta+2gamma=0, 2gamma=0, alpha+2gamma=0, beta+2gamma=0

Passo 4

Da segunda equação vem gamma=0. Substituindo em alpha+2gamma=0 e beta+2gamma=0 alpha=0 e beta=0. Logo a única solução é alpha=beta=gamma=0.

Resposta

As matrizes u,v,w são linearmente independentes em M(2,2).

Exercícios relacionados