Mostre que os vetores
são linearmente independentes (LI) em
M(2,2) .
Passo 1
O enunciado nos dá três matrizes em
M(2,2) :
e pede para mostrar que são linearmente independentes. Vamos usar a definição: são LI se a única solução de
é
alpha=beta=gamma=0 .
Passo 2
Escrevendo a combinação linear em cada entrada, temos
Passo 3
Para que essa matriz seja a matriz zero, as quatro entradas devem ser zero. Assim obtemos o sistema
Passo 4
Da segunda equação vem
gamma=0 . Substituindo em
alpha+2gamma=0 e
beta+2gamma=0 dá
alpha=0 e
beta=0 . Logo a única solução é
alpha=beta=gamma=0 .
Resposta
As matrizes
u,v,w são linearmente independentes em
M(2,2) .