Quais das transformações abaixo são lineares?

Passo 1

O enunciado dá a transformação
Tcolon R^2longrightarrow M2times 2, T(x,y)= x & y y & -x
e pede para verificar se T é linear. Para isso vamos usar o critério padrão: checar aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Verificamos a aditividade, isto é, se para (x1,y1),(x2,y2)inR^2 vale
Tl((x1,y1)+(x2,y2)r) =T(x1+x2,y1+y2) = x1+x2 & y1+y2 y1+y2 & -(x1+x2)
Por outro lado,
T(x1,y1)+T(x2,y2) = x1 & y1 y1 & -x1 + x2 & y2 y2 & -x2 = x1+x2 & y1+y2 y1+y2 & -(x1+x2)
Logo a aditividade vale.

Passo 3

Agora checamos a homogeneidade, ou seja, para alphainR e (x,y)inR^2 queremos ver se
Tl(alpha,(x,y)r) =T(alpha x,alpha y) = alpha x & alpha y alpha y & -alpha x = alpha x & y y & -x =alpha,T(x,y)
Portanto a homogeneidade também vale.

Passo 4

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

T é linear.

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