Determinar o ângulo entre os seguintes planos:
d) pi1:lx=1+h-t y=h+2 t z=h
e pi2:lx=2+t y=-2 h z=h+t

Passo 1

O enunciado dá dois planos em forma paramétrica. Para cada plano, precisamos extrair dois vetores diretores, calcular o vetor normal como o produto vetorial desses diretores e então usar a definição de ângulo entre planos: é o ângulo agudo entre seus vetores normais.

Passo 2

No plano pi1 temos as equações
x = 1 + h - t, y = h + 2t, z = h
Indicando h e t como parâmetros, os vetores diretores são
vh = (1,1,1), vt = (-1,2,0)
O vetor normal n1 é
n1 = vh times vt = i & j & k 1 & 1 & 1 -1 & 2 & 0 = (-2,,-1,,3)

Passo 3

No plano pi2 temos
x = 2 + t, y = -2h, z = h + t
Aqui os vetores diretores são
wh = (0,-2,1), wt = (1,0,1)
O vetor normal n2 é
n2 = wh times wt = i & j & k 0 & -2 & 1 1 & 0 & 1 = (-2,,1,,2)

Passo 4

O ângulo theta entre os planos é o mesmo ângulo agudo entre n1 e n2, dado por
costheta = l|n1cdotn2r| |n1|;|n2|
Calculamos
n1cdotn2 = (-2)(-2) + (-1)cdot1 + 3cdot2 = 4 - 1 + 6 = 9,
|n1| = raiz(-2)^2 + (-1)^2 + 3^2 = raiz14, |n2| = raiz(-2)^2 + 1^2 + 2^2 = 3
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costheta = 93raiz14 = 3raiz14 Longrightarrow theta = arccos!l(3raiz14r)

Resposta

theta = arccos!l(3raiz14r)

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