Verifique se V=(x, y) mid x, y in R é um espaço vetorial com as operações de adição oplus e de multiplicação por escalar odot dadas por:
(x1, y1) oplus(x2, y2)=(x1+x2-1, y1+y2-1); alpha odot(x, y)=(alpha x-alpha+1, alpha y-alpha+1).

Passo 1

O enunciado pede pra checar se o conjunto V={(x,y)∈ℝ²} com as operações
(x₁,y₁)oplus(x₂,y₂)=(x₁+x₂−1,;y₁+y₂−1)
e
αodot(x,y)=(αx−α+1,;αy−α+1)
é um espaço vetorial sobre ℝ. Vamos usar teoria de espaços vetoriais: primeiro (V,\oplus) precisa ser um grupo abeliano, e depois vieram as propriedades de \odot.

Passo 2

Primeiro mostramos que (V,\oplus) é um grupo abeliano. Há um elemento neutro e em cada vetor existe inverso, e \oplus é associativa e comutativa:
– Neutro: queremos e=(e₁,e₂) tal que (x,y)\oplus e=(x,y). Logo
(x+e₁−1,;y+e₂−1)=(x,y)
implica e₁=1 e e₂=1, ou seja e=(1,1).
– Inverso: dado v=(x,y), buscamos u=(u₁,u₂) com v\oplus u=e. Da equação
(x+u₁−1,;y+u₂−1)=(1,1)
vem u₁=2−x e u₂=2−y.
– Associatividade: para v,u,w∈V,
(voplus u)oplus w=(xv+xu−1+xw−1,;yv+yu−1+yw−1)=(xv+xu+xw−2,;yv+yu+yw−2)
voplus(uoplus w)=(xv+(xu+xw−1)−1,;yv+(yu+yw−1)−1)=(xv+xu+xw−2,;yv+yu+yw−2)
Logo associativa.
– Comutatividade: claro, pois x₁+x₂=x₂+x₁.

Passo 3

Agora verificamos as propriedades de multiplicação por escalar:
– Identidade escalar:
1odot(x,y)=(1·x−1+1,;1·y−1+1)=(x,y)
– Compatibilidade de escalares: para α,β∈ℝ,
(αβ)odot(x,y)=(αβx−αβ+1,;αβy−αβ+1)
Por outro lado,
βodot(x,y)=(βx−β+1,βy−β+1),
e então
αodot(βodot(x,y))=(α(βx−β+1)−α+1,;α(βy−β+1)−α+1)=(αβx−αβ+1,;αβy−αβ+1)
Logo (αβ)\odot v=α\odot(β\odot v).

Passo 4

Falta checar as duas distributividades:
– (α+β)\odot v = α\odot v \oplus β\odot v:
(α+β)odot(x,y)=(αx+βx−α−β+1,;αy+βy−α−β+1)
Enquanto
αodot(x,y)=(αx−α+1,αy−α+1), βodot(x,y)=(βx−β+1,βy−β+1),
e
αodot(x,y)oplus βodot(x,y)=(αx−α+1+βx−β+1−1,;αy−α+1+βy−β+1−1)=(αx+βx−α−β+1,;αy+βy−α−β+1)
– α\odot(v\oplus w):
voplus w=(xv+xw−1,;yv+yw−1),
logo
αodot(voplus w)=(α(xv+xw−1)−α+1,;α(yv+yw−1)−α+1)=(αxv+αxw−2α+1,;αyv+αyw−2α+1)
E
αodot v=(αxv−α+1,αyv−α+1), αodot w=(αxw−α+1,αyw−α+1),
αodot voplus αodot w=(αxv+αxw−2α+1,;αyv+αyw−2α+1)
Tudo confere.

Passo 5

Como todas as propriedades de grupo abeliano em (V,\oplus) e de multiplicação por escalar foram satisfeitas, concluímos que V é um espaço vetorial sobre ℝ.

Resposta

Sim. O conjunto V com as operações dadas forma um espaço vetorial sobre ℝ.

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