Verifique se
é um espaço vetorial com as operações de adição
e de multiplicação por escalar
dadas por:
;
.
Passo 1
O enunciado pede pra checar se o conjunto V={(x,y)∈ℝ²} com as operações
e
é um espaço vetorial sobre ℝ. Vamos usar teoria de espaços vetoriais: primeiro (V,\oplus) precisa ser um grupo abeliano, e depois vieram as propriedades de \odot.
Passo 2
Primeiro mostramos que (V,\oplus) é um grupo abeliano. Há um elemento neutro e em cada vetor existe inverso, e \oplus é associativa e comutativa:
– Neutro: queremos e=(e₁,e₂) tal que (x,y)\oplus e=(x,y). Logo
– Neutro: queremos e=(e₁,e₂) tal que (x,y)\oplus e=(x,y). Logo
implica e₁=1 e e₂=1, ou seja e=(1,1).
– Inverso: dado v=(x,y), buscamos u=(u₁,u₂) com v\oplus u=e. Da equação
– Inverso: dado v=(x,y), buscamos u=(u₁,u₂) com v\oplus u=e. Da equação
vem u₁=2−x e u₂=2−y.
– Associatividade: para v,u,w∈V,
– Associatividade: para v,u,w∈V,
Logo associativa.
– Comutatividade: claro, pois x₁+x₂=x₂+x₁.
– Comutatividade: claro, pois x₁+x₂=x₂+x₁.
Passo 3
Agora verificamos as propriedades de multiplicação por escalar:
– Identidade escalar:
– Identidade escalar:
– Compatibilidade de escalares: para α,β∈ℝ,
Por outro lado,
e então
Logo (αβ)\odot v=α\odot(β\odot v).
Passo 4
Falta checar as duas distributividades:
– (α+β)\odot v = α\odot v \oplus β\odot v:
– (α+β)\odot v = α\odot v \oplus β\odot v:
Enquanto
e
– α\odot(v\oplus w):
logo
E
Tudo confere.
Passo 5
Como todas as propriedades de grupo abeliano em (V,\oplus) e de multiplicação por escalar foram satisfeitas, concluímos que V é um espaço vetorial sobre ℝ.
Resposta
Sim. O conjunto V com as operações dadas forma um espaço vetorial sobre ℝ.